Derivada de una función

Suponemos que \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) son cuerpos, que se ponen en movimiento al mismo tiempo inicial \(t\). Sabemos cómo se cambia la distancia \(s\) o la velocidad \(v\) de estos cuerpos con el tiempo: \[\begin{aligned} A: \, s=2t^2+12t+1,\qquad&C:\, v=10t+4,\\ B:\, s=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+2,\qquad&D:\, v=\frac12t^2+1.\end{aligned}\] La distancia \(s\) se da en metros, el tiempo \(t\) en segundos y la velocidad \(v\) en metros por segundo. Determina cuál de los cuerpos se mueve con la mayor aceleración en el momento \(t=1\,\mathrm{s}\). \[\] Sugerencia: La velocidad instantánea se puede expresar como la derivada de una función de distancia \(s(t)\) con respecto al tiempo: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\), y la aceleración instantánea se puede expresar como la derivada de una función \(v(t)\) con respecto al tiempo: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Como podemos determinar la velocidad usando la derivada de la función de distancia \(s(t)\), también podemos determinar la aceleración usando la segunda derivada de \(s(t)\): \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).

El movimiento de dos cuerpos viene dado por las siguientes ecuaciones: \[s_1=\frac12t^2+6t+1\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+t^2+4,\] donde las distancias \(s_1\) y \(s_2\) se dan en metros y el tiempo \(t\) en segundos. Determina en qué momento ambos cuerpos se moverán con la misma velocidad. \[\] Sugerencia: La velocidad instantánea se puede expresar como la derivada de una función de distancia \(s(t)\) con respecto al tiempo: \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).