Pochodne

Załóżmy, że \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) są ciałami, które są wprawiane w ruch w tym samym momencie początkowym \(t\). Wiemy, jak zmienia się droga \(s\) lub prędkość \(v\) tych ciał w czasie: \[\begin{aligned} A: \, s=2t^2+12t+1,\qquad&C:\, v=10t+4,\\ B:\, s=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+2,\qquad&D:\, v=\frac12t^2+1.\end{aligned}\] Pozycja \(s\) podana jest w metrach, czas \(t\) w sekundach i prędkość \(v\) w metrach na sekundę. Określ, które ciało porusza się z największym przyspieszeniem w danym momencie \(t=1\,\mathrm{s}\). \[\] Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia \(s(t)\) względem czasu: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\), a przyspieszenie chwilowe można wyrazić jako pochodną funkcji \(v(t)\) względem czasu: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Ponieważ możemy wyznaczyć prędkość za pomocą pochodnej funkcji położenia \(s(t)\), możemy również wyznaczyć przyspieszenie za pomocą drugiej pochodnej \(s(t)\): \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).

Ruch dwóch ciał jest opisany równaniami \[s_1=\frac12t^2+6t+1\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+t^2+4,\] gdzie droga \(s\) podana jest w metrach, a czas \(t\) w sekundach. Określ, w jakim czasie oba ciała będą poruszać się z tą samą prędkością.\[\] Wskazówka: Możemy wyznaczyć prędkość korzystając z pochodnej funkcji \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).

Koło zamachowe obraca się tak, że wymiata kąt z szybkością \[ \varphi = 4t^2, \] gdzie kąt \(\varphi\) jest mierzony w radianach, a czas \(t\) jest mierzony w sekundach. W jakim czasie chwilowa prędkość kątowa koła zamachowego jest równa \(36\,\frac{\mathrm{rad}}{s}\)? (Wskazówka: Chwilową prędkość kątową można wyrazić jako pochodną funkcji \(\varphi(t)\) względem czasu: \(\omega(t)=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\).)

Mając wykres położenie w funkcji czasu (na czarno) obiektu w ruchu i linię styczną do wykresu w punkcie czasowym \(10\) sekund (na czerwono), znajdź prędkość chwilową tego obiektu w \( 10\) sekund. (Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia względem \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)