Pochodne

Załóżmy, że $A$, $B$, $C$ i $D$ są ciałami, które są wprawiane w ruch w tym samym momencie początkowym $t$. Wiemy, jak zmienia się droga $s$ lub prędkość $v$ tych ciał w czasie: $$\begin{array}{rl}A:s=2t^2+12t+1,& C:v=10t+4,\\ B:s=\frac{1}{3}{t}^3+\frac{t^2}{2}+2,& D:v=\frac{1}{2}{t}^2+1.\end{array}$$ Pozycja $s$ podana jest w metrach, czas $t$ w sekundach i prędkość $v$ w metrach na sekundę. Określ, które ciało porusza się z największym przyspieszeniem w danym momencie $t=1\mathrm{s}$. $$$$ Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia $s(t)$ względem czasu: $v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$, a przyspieszenie chwilowe można wyrazić jako pochodną funkcji $v(t)$ względem czasu: $a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$. Ponieważ możemy wyznaczyć prędkość za pomocą pochodnej funkcji położenia $s(t)$, możemy również wyznaczyć przyspieszenie za pomocą drugiej pochodnej $s(t)$: $a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}$.

Ruch dwóch ciał jest opisany równaniami $$s_1=\frac{1}{2}{t}^2+6t+1\text{,}{s}_2=\frac{1}{3}{t}^3+t^2+4,$$ gdzie droga $s$ podana jest w metrach, a czas $t$ w sekundach. Określ, w jakim czasie oba ciała będą poruszać się z tą samą prędkością.$$$$ Wskazówka: Możemy wyznaczyć prędkość korzystając z pochodnej funkcji $s(t)$, tj. $v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$.