Pochodne

2010013704

Część: 
C
Mamy ciała \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\), które można jednocześnie wprawić w ruch. Wiemy jak zmienia się droga \(s\) lub prędkość danych ciał \(v\) w zależności od czasu. \[\begin{aligned} A: \, s=\frac12t^2+10t+1,\qquad&C:\, v=9t+15,\\ B:\, s=\frac13t^3+t^2+4,\qquad\ \ &D:\, v=\frac52t^2+3.\end{aligned}\] Droga \(s\) mierzona jest w metrach, czas \(t\) w sekundach a prędkość \(v\) w metrach na sekundę. Określ, które ciało porusza się z największym przyspieszeniem w czasie \(t=1\,\mathrm{s}\). \[\] Wskazówka: Możemy wyznaczyć prędkość korzystając z pochodnej funkcji \(s(t)\) względem czasu: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\), a przyspieszenie chwilowe można wyrazić jako pochodną funkcji \(v(t)\) względem czasu: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Ponieważ możemy wyznaczyć prędkość za pomocą pochodnej funkcji położenia \(s(t)\), możemy również wyznaczyć przyspieszenie za pomocą drugiej pochodnej \(s(t)\): \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).
\(C\)
\(B\)
\(A\)
\(D\)

2010013703

Część: 
C
Załóżmy, że \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) są ciałami, które są wprawiane w ruch w tym samym momencie początkowym \(t\). Wiemy, jak zmienia się droga \(s\) lub prędkość \(v\) tych ciał w czasie: \[\begin{aligned} A: \, s=2t^2+12t+1,\qquad&C:\, v=10t+4,\\ B:\, s=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+2,\qquad&D:\, v=\frac12t^2+1.\end{aligned}\] Pozycja \(s\) podana jest w metrach, czas \(t\) w sekundach i prędkość \(v\) w metrach na sekundę. Określ, które ciało porusza się z największym przyspieszeniem w danym momencie \(t=1\,\mathrm{s}\). \[\] Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia \(s(t)\) względem czasu: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\), a przyspieszenie chwilowe można wyrazić jako pochodną funkcji \(v(t)\) względem czasu: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Ponieważ możemy wyznaczyć prędkość za pomocą pochodnej funkcji położenia \(s(t)\), możemy również wyznaczyć przyspieszenie za pomocą drugiej pochodnej \(s(t)\): \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).
\(C\)
\(B\)
\(A\)
\(D\)

2010013702

Część: 
C
Ruch dwóch ciał jest określony równaniami \[s_1=\frac32t^2+3t+2\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+1,\] gdzie drogi \(s_1\) i \(s_2\) podane są w metrach a czas \(t\) w sekundach. Określ, w jakim czasie oba ciała będą poruszać się z tą samą prędkością. \[\] Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia \(s(t)\) względem czasu: \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).
\(t=3\,\mathrm{s}\)
\(t=1\,\mathrm{s}\)
\(t=\sqrt7\,\mathrm{s}\)
Prędkości tych ciał zawsze będą inne.

2010013701

Część: 
C
Ruch dwóch ciał jest opisany równaniami \[s_1=\frac12t^2+6t+1\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+t^2+4,\] gdzie droga \(s\) podana jest w metrach, a czas \(t\) w sekundach. Określ, w jakim czasie oba ciała będą poruszać się z tą samą prędkością.\[\] Wskazówka: Możemy wyznaczyć prędkość korzystając z pochodnej funkcji \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).
\(t=2\,\mathrm{s}\)
\(t=\sqrt2\,\mathrm{s}\)
\(t=3\,\mathrm{s}\)
Prędkości tych ciał zawsze będą inne.

2000010806

Część: 
C
Rozważmy cewkę o indukcyjności \(0{,}06\,\mathrm{H}\). Prąd płynący przez cewkę jest podawany przez \[ i=0{,}2\sin(100\pi t),\] gdzie czas \(t\) jest mierzony w sekundach, a prąd \(i\) jest mierzony w amperach. Określ napięcie indukowane w cewce w czasie \(t=2\) sekund. (Wskazówka: Chwilowe napięcie można wyrazić jako pochodną funkcji prądu względem czasu: \(u(t)=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\). Znak minus wskazuje tylko, że indukowane napięcie przeciwstawia się zmianie prądu przepływającego przez cewkę w jednostce czasu. Nie wpływa na wielkość napięcia.)
\( 1{,}2\pi \,\mathrm{V}\)
\( 20\pi \,\mathrm{V}\)
\( 0 \,\mathrm{V}\)
\( 12 \,\mathrm{V}\)