Derivace funkce

Máme tělesa \(A\), \(B\), \(C\) a \(D\), která se dají současně do pohybu. Víme, jak se mění dráha, či rychlost těchto těles v závislosti na čase: \[\begin{aligned} A: \, s=2t^2+12t+1,\qquad&C:\, v=10t+4,\\ B:\, s=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+2,\qquad&D:\, v=\frac12t^2+1.\end{aligned}\] Dráha \(s\) je měřena v metrech, čas \(t\) v sekundách a rychlost \(v\) v metrech za sekundu. Určete, které těleso se v čase \(t=1\,\mathrm{s}\) pohybuje s největším zrychlením. \[\] Nápověda: Rychlost \(v(t)\) můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\). Zrychlení \(a(t)\) lze určit jako derivaci funkce \(v(t)\), tj. \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Protože rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), můžeme zrychlení určit pomocí druhé derivace \(s(t)\), tj. \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).

Pohyb dvou těles je popsán rovnicemi \[s_1=\frac12t^2+6t+1\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+t^2+4,\] kde dráha \(s\) je uváděna v metrech a čas \(t\) v sekundách. Určete, v jakém čase se obě tělesa budou pohybovat stejnou rychlostí.\[\] Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).

Daný setrvačník se roztáčí tak, že úhel jeho otočení závisí na čase podle rovnice \[ \varphi = 4t^2, \] kde úhel otočení \(\varphi\) udáváme v radiánech a čas \(t\) v sekundách. Za jak dlouho se bude pohybovat úhlovou rychlostí \(36\,\frac{\mathrm{rad}}{s}\)? (Nápověda: Úhlovou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(\varphi(t)\), tj. \(\omega(t)=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\).)

Na obrázku je graf závislosti dráhy na čase pohybujícího se tělesa (černá barva). V čase \(t=10\) sekund je sestrojena tečna ke grafu (červená barva). Pomocí obrázku určete rychlost tělesa v čase \(t=10\ \mathrm{s}\). (Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce dráhy, tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)