Derivace funkce

2010013704

Část: 
C
Máme tělesa \(A\), \(B\), \(C\) a \(D\), která se dají současně do pohybu. Víme, jak se mění dráha, či rychlost těchto těles v závislosti na čase: \[\begin{aligned} A: \, s=\frac12t^2+10t+1,\qquad&C:\, v=9t+15,\\ B:\, s=\frac13t^3+t^2+4,\qquad\ \ &D:\, v=\frac52t^2+3.\end{aligned}\] Dráha \(s\) je měřena v metrech, čas \(t\) v sekundách a rychlost \(v\) v metrech za sekundu. Určete, které těleso se v čase \(t=1\,\mathrm{s}\) pohybuje s největším zrychlením. \[\] Nápověda: Rychlost \(v(t)\) můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\). Zrychlení \(a(t)\) lze určit jako derivaci funkce \(v(t)\), tj. \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Protože rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), můžeme zrychlení určit pomocí druhé derivace \(s(t)\), tj. \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).
\(C\)
\(B\)
\(A\)
\(D\)

2010013703

Část: 
C
Máme tělesa \(A\), \(B\), \(C\) a \(D\), která se dají současně do pohybu. Víme, jak se mění dráha, či rychlost těchto těles v závislosti na čase: \[\begin{aligned} A: \, s=2t^2+12t+1,\qquad&C:\, v=10t+4,\\ B:\, s=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+2,\qquad&D:\, v=\frac12t^2+1.\end{aligned}\] Dráha \(s\) je měřena v metrech, čas \(t\) v sekundách a rychlost \(v\) v metrech za sekundu. Určete, které těleso se v čase \(t=1\,\mathrm{s}\) pohybuje s největším zrychlením. \[\] Nápověda: Rychlost \(v(t)\) můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\). Zrychlení \(a(t)\) lze určit jako derivaci funkce \(v(t)\), tj. \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Protože rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), můžeme zrychlení určit pomocí druhé derivace \(s(t)\), tj. \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).
\(C\)
\(B\)
\(A\)
\(D\)

2010013702

Část: 
C
Pohyb dvou těles je popsán rovnicemi \[s_1=\frac32t^2+3t+2\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+1,\] kde dráha \(s\) je uváděna v metrech a čas \(t\) v sekundách. Určete, v jakém čase se obě tělesa budou pohybovat stejnou rychlostí.\[\] Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).
\(t=3\,\mathrm{s}\)
\(t=1\,\mathrm{s}\)
\(t=\sqrt7\,\mathrm{s}\)
Rychlosti těchto těles budou vždy rozdílné.

2010013701

Část: 
C
Pohyb dvou těles je popsán rovnicemi \[s_1=\frac12t^2+6t+1\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+t^2+4,\] kde dráha \(s\) je uváděna v metrech a čas \(t\) v sekundách. Určete, v jakém čase se obě tělesa budou pohybovat stejnou rychlostí.\[\] Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).
\(t=2\,\mathrm{s}\)
\(t=\sqrt2\,\mathrm{s}\)
\(t=3\,\mathrm{s}\)
Rychlosti těchto těles budou vždy rozdílné.

2000010806

Část: 
C
Cívkou, jejíž indukčnost je \(0{,}06\,\mathrm{H}\) protéká střídavý proud \[ i=0{,}2\sin(100\pi t),\] kde čas \(t\) je v sekundách a proud \(i\) je měřen v ampérech. Určete velikost indukovaného napětí v čase \(t=2\) s. (Nápověda: Okamžité napětí \(u\), které se indukuje v cívce o indukčnosti \(L\) průchodem střídavého proudu \(i\) můžeme určit pomocí derivace funkce \(i(t)\), tj. \(u(t)=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\). Pro velikost napětí není záporné znaménko podstatné.)
\( 1{,}2\pi \,\mathrm{V}\)
\( 20\pi \,\mathrm{V}\)
\( 0 \,\mathrm{V}\)
\( 12 \,\mathrm{V}\)