Derivácia funkcie

Máme telesá \(A\), \(B\), \(C\) a \(D\), ktoré sa dajú do pohybu súčasne. Vieme, ako sa mení dráha či rýchlosť daných telies v závislosti na čase: \[\begin{aligned} A: \, s=2t^2+12t+1,\qquad&C:\, v=10t+4,\\ B:\, s=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+2,\qquad&D:\, v=\frac12t^2+1.\end{aligned}\] Dráha \(s\) je meraná v metroch, čas \(t\) v sekundách a rýchlosť \(v\) v metroch za sekundu. Určte, ktoré teleso sa v čase \(t=1\,\mathrm{s}\) pohybuje s najväčším zrychlením. \[\] Pomôcka: Rýchlosť \(v(t)\) môžme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\). Zrýchlenie \(a(t)\) vieme určiť ako deriváciu funkcie \(v(t)\), tj. \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Protože rýchlosť môžme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), môžme zrýchlenie určiť pomocou druhej derivácie \(s(t)\), tj. \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).

Pohyb dvoch telies je popísaný rovnicami \[s_1=\frac12t^2+6t+1\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+t^2+4,\] kde dráha \(s\) je uvedená v metroch a čas \(t\) v sekundách. Určte, v akom čase sa budú obidve telesá pohybovať rovnakou rychlosťou.\[\] Pomôcka: Rýchlosť môžme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).

Daný zotrvačník sa roztáča tak, že uhol jeho otočenia závisí na čase podľa rovnice \[ \varphi = 4t^2, \] kde uhol otočenia \(\varphi\) udávame v radiánoch a čas \(t\) v sekundách. Za ako dlho sa bude pohybovať uhlovou rýchlosťou \(36\,\frac{\mathrm{rad}}{s}\)? (Pomôcka: Uhlovú rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkcie \(\varphi(t)\), tj. \(\omega(t)=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\).)

Na obrázku je graf závislosti dráhy na čase pohybujúceho sa telesa (čierna farba). V čase \(t=10\) sekúnd je zostrojená dotyčnica ku grafu (červená farba). Pomocou obrázku určte rýchlosť telesa v čase \(t=10\ \mathrm{s}\). (Pomôcka: Okamžitú rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkcie dráhy, tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)