Derivácia funkcie

Máme telesá $A$, $B$, $C$ a $D$, ktoré sa dajú do pohybu súčasne. Vieme, ako sa mení dráha či rýchlosť daných telies v závislosti na čase: $$\begin{array}{rl}A:s=\frac{1}{2}{t}^2+10t+1,& C:v=9t+15,\\ B:s=\frac{1}{3}{t}^3+t^2+4,& D:v=\frac{5}{2}{t}^2+3.\end{array}$$ Dráha $s$ je meraná v metroch, čas $t$ v sekundách a rýchlosť $v$ v metroch za sekundu. Určte, ktoré teleso sa v čase $t=1\mathrm{s}$ pohybuje s najväčším zrychlením. $$$$ Pomôcka: Rýchlosť $v(t)$ môžme určiť pomocou derivácie funkcie $s(t)$, tj. $v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$. Zrýchlenie $a(t)$ vieme určiť ako deriváciu funkcie $v(t)$, tj. $a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$. Protože rýchlosť môžme určiť pomocou derivácie funkcie $s(t)$, môžme zrýchlenie určiť pomocou druhej derivácie $s(t)$, tj. $a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}$.

Pohyb dvoch telies je popísaný rovnicami $$s_1=\frac{3}{2}{t}^2+3t+2\text{,}{s}_2=\frac{1}{3}{t}^3+\frac{t^2}{2}+1,$$ kde dráha $s$ je uvedená v metroch a čas $t$ v sekundách. Určte, v akom čase sa budú obidve telesá pohybovať rovnakou rychlosťou.$$$$ Pomôcka: Rýchlosť môžme určiť pomocou derivácie funkcie $s(t)$, tj. $v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$.

Cievkou, ktorej indukčnosť je $0,06\mathrm{H}$ preteká striedavý prúd $$i=0,2\sin (100\pi t),$$ kde čas $t$ je v sekundách a prúd $i$ je meraný v ampéroch. Určte veľkosť indukovaného napätia v čase $t=2$ s. (Pomôcka: Okamžité napätie $u$, ktoré sa indukuje v cievke s indukčnosťou $L$ prietokom striedavého prúdu $i$ môžeme určiť pomocou derivácie funkcie $i(t)$, tj. $u(t)=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$. Pre veľkosť napätia nie je záporné znamienko podstatné.)