2010013704

Mamy ciała \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\), które można jednocześnie wprawić w ruch. Wiemy jak zmienia się droga \(s\) lub prędkość danych ciał \(v\) w zależności od czasu. \[\begin{aligned} A: \, s=\frac12t^2+10t+1,\qquad&C:\, v=9t+15,\\ B:\, s=\frac13t^3+t^2+4,\qquad\ \ &D:\, v=\frac52t^2+3.\end{aligned}\] Droga \(s\) mierzona jest w metrach, czas \(t\) w sekundach a prędkość \(v\) w metrach na sekundę. Określ, które ciało porusza się z największym przyspieszeniem w czasie \(t=1\,\mathrm{s}\). \[\] Wskazówka: Możemy wyznaczyć prędkość korzystając z pochodnej funkcji \(s(t)\) względem czasu: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\), a przyspieszenie chwilowe można wyrazić jako pochodną funkcji \(v(t)\) względem czasu: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Ponieważ możemy wyznaczyć prędkość za pomocą pochodnej funkcji położenia \(s(t)\), możemy również wyznaczyć przyspieszenie za pomocą drugiej pochodnej \(s(t)\): \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).