Geometría en el espacio

1103212201

Parte: 
C
Dada la recta \( p \) que pasa por los puntos \( M=[4;2;0] \) y \( N=[6;6;7] \) (mira la imagen). Determina las ecuaciones paramétricas de la recta \( p' \) que es simétrica a la recta \( p \) respecto al plano \( xy \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6, \\ y&=2+6t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212202

Parte: 
C
Dada la recta \( p \) que pasa por los puntos \( M=[4;3;2] \) y \( N=[0;6;7] \) (mira la imagen). Determina las ecuaciones paramétricas de la recta \( p' \) que es simétrica a la recta \( p \) respecto al \( yz \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212203

Parte: 
C
Dada la recta \( p \) que pasa por los puntos \( M=[4;3;2] \) y \( N=[8;0;5] \) (mira la imagen). Determina las ecuaciones paramétricas de la recta \( p' \) que es simétrica a la recta \( p \) respecto al \( xz \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=0, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=-3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8-4t, \\ y&=3t, \\ z&=5-3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212204

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya longitud de arista es \( 2 \) (mira la imagen) y sea el punto \( M \) el punto medio de la arista \( EF \). Determina la ecuación general del plano \( \rho \) que pasa por los puntos \( B \), \( D \), y \( G \) y calcula la distancia del punto \( M \) a dicho plano \( \rho \).
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)

1103212205

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya arista mide \( 2 \) (mira la imagen). Calcula la distancia de los planos paralelos \( \alpha \) y \( \beta \), en los cuales \( \alpha \) está determinado por los puntos \( B \), \( D \) y \( G \) y el plano \( \beta \) está determinado por los puntos \( A \), \( F \) y \( H \).
\( |\alpha\beta|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{4\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}4 \)

1103212206

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya longitud de arista es \( 2 \) (mira la imagen). La línea \( p \) es línea de intersección de los planos \( \alpha \) y \( \beta \), donde el plano \( \alpha \) está determinado por los puntos \( C \), \( F \) y \( H \) y el plano \( \beta \) está determinado por los puntos \( A \), \( F \) y \( H \). Halla las ecuaciones paramétricas para la recta \( p \) y calcula el ángulo \( \varphi \) de los planos \( \alpha \) y \( \beta \) . Aproxima el ángulo \( \varphi \) a minutos.
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=t, & &\\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2t, & \varphi&\doteq 90^{\circ} \\ y&=2t, & & \\ z&=2+2t;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 90^{\circ}\\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=2t, & & \\ z&=2t;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)

1103212901

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya arista mide \( 2 \) (mira la imagen). Determina la distancia de las rectas paralelas \( p=KL \) y \( q=MN \) en las cuales los puntos \( K \), \( L \), \( M \) y \( N \) son puntos medios de aristas \( CD \), \( BC \), \( EH \) y \( EF \) (siguiendo el orden).
\( |pq|=\sqrt6 \)
\( |pq|=2\sqrt3 \)
\( |pq|=3\sqrt2 \)
\( |pq|=2\sqrt2 \)

1103212902

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya arista mide \( 2 \) (mira la imagen). El punto \( S \) es el centro de la cara \( ABFE \) y los puntos \( K \) y \( L \) son los puntos medios de aristas \( DH \) y \( CG \) consecutivamente. Determina la ecuación general del plano \( \alpha \) que pase por los puntos \( A \), \( B \) y \( L \), y calcula la distancia del punto \( S \) al plano \( \alpha \).
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)

1103212903

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya longitud de la arista es \( 2 \) (mira la imagen). Determina el ángulo \( \varphi \) formado entre la recta \( AF \) y el plano \( \alpha \) que pasa por los puntos \( E \), \( D \) y \( C \). Pista: El ángulo formado entre una recta y un plano es igual al ángulo formado entre la proyección perpendicular de la recta en el plano.
\( \varphi = 30^{\circ} \)
\( \varphi = 15^{\circ} \)
\( \varphi = 45^{\circ} \)
\( \varphi = 60^{\circ} \)

1103212904

Parte: 
C
Sea \( ABCDV \) una pirámide cuadrangular regular cuya arista de base es \( 6 \) y la altura es \( 6 \) (mira la imagen). El punto \( S \) es el punto medio de la arista \( AD \). Determina la ecuación general del plano \( \alpha \) que pasa por los puntos \( B \), \( V \) y \( C \), y calcula la distancia del punto \( S \) al plano \( \alpha \).
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)