Geometría en el espacio

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Parte: 
C
Sea \( ABCDV \) una pirámide cuadrangular regular cuya arista de base es \( 6 \) y la altura es \( 6 \) (mira la imagen). Determina las ecuaciones paramétricas de la línea de intersección \( p \) y los planos \( \alpha \) y \( \beta \), donde \( \alpha \) es el plano que pasa por los puntos \( B \), \( C \) y \( V \), y \( \beta \) es el plano que pasa por los puntos \( A \), \( D \) y \( V \). Calcula también el ángulo \( \varphi \) formado entre los planos \( \alpha \) y \( \beta \). Aproxima el ángulo \( \varphi \) a minutos.
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=0;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3+t, &\\ z&=6+2t;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)

1103233601

Parte: 
C
En el cubo $ABCDEFGH$ cuya arista mide $1$ hay un tetraedro regular $ACHF$ (mira la imagen). Determina la altura del sólido. \[ \] Pista: Calcula por ejemplo la distancia entre el punto $F$ y el plano $ACH$.
$\frac{2\sqrt3}3$
$\frac{\sqrt3}3$
$\frac{2\sqrt6}3$
$\frac23$

1103233602

Parte: 
C
En el cubo $ABCDEFGH$ cuya arista mide $1$ está marcado un tetraedro regular $ACHF$ (mira la imagen). Determina la distancia entre aristas opuestas. \[ \] Pista: Las aristas opuestas de un tetraedro están en las rectas secantes. Su distancia es igual a la distancia de puntos medios de una arista y la arista opuesta a dicha arista.
$1$
$\sqrt3$
$\frac{\sqrt3}2$
$\frac{\sqrt5}2$

1103233604

Parte: 
C
Calcula el simétrico del punto $A=[1;10;-8]$ siendo el eje de simetría la recta la recta $p$: \begin{align*} p\colon x&= 1-2t, \\ y&= 3+t, \\ z&= -1+3t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Pista: mira la imagen.
$A'=[5;-6;0]$
$A'=[3;2;-4]$
$A'=[-1;11;-5]$
$A'=[-2;10;-24]$

2010008703

Parte: 
C
La recta \( q \) viene dada por los puntos \( K=[6;6;7] \) y \( L=[4;0;2] \) (ver la imagen). Halla las ecuaciones paramétricas de la recta \( q' \) simétrica a la recta \( q \) respecto al plano coordenado \( xz \).
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

2010008704

Parte: 
C
Un cubo \( ABCDEFGH \) cuya arista mide \( 3 \) unidades se encuentra en un sistema de coordenadas (ver la imagen). Halla la distancia entre los planos paralelos \( \rho \) y \( \sigma \), donde \( \rho \) pasa por los puntos \( D \), \( E \) y \( G \) y \( \sigma \) pasa por \( A \), \( C \) y \( F \).
\( |\rho\sigma|=\sqrt3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{4\sqrt3}3 \)

2010008705

Parte: 
C
Un cubo \( ABCDEFGH \) cuya arista mide \( 4 \) unidades está situado en un sistema de coordenadas (ver la imagen). Halla la distancia entre las rectas paralelas \( p=PQ\) y \( r=RS \), donde los puntos \( P \), \( Q \), \( R\) y \( S \) son los puntos medios de las aristas \(BF\), \(BC\), \(EH\) y \(DH\) respectivamente.
\( |pr|=2\sqrt6 \)
\( |pr|=4\sqrt3 \)
\( |pr|=6\sqrt2 \)
\( |pr|=4\sqrt2 \)

2010008706

Parte: 
C
Un cubo \( ABCDEFGH \) cuya arista mide \( 4 \) unidades está situado en un sistema de coordenadas (ver la imagen). Halla el ángulo \( \psi \) entre el plano \( \rho \) que pasa por los puntos \( B \), \( D \) y \( H \) y la recta \( CF \). Pista: Un ángulo entre una recta y un plano es el ángulo entre la recta y su proyección ortogonal en dicho plano.
\( \psi = \frac{\pi}6 \)
\( \psi = \frac{\pi}{12} \)
\( \psi = \frac{\pi}4 \)
\( \psi = \frac{\pi}3 \)