Geometría en el espacio

9000106304

Parte: 
B
Halla la tercera coordenada del punto \(B = [2;0;?]\) teniendo en cuenta que este punto está en el plano \(\alpha \) definido por la ecuación \[ \alpha \colon 2x + y - z - 5 = 0. \] Usa el punto \(B\) para encontrar el ángulo \(\varphi \) entre el plano \(\alpha \) y la recta \(AB\), donde \(A = [0;0;1]\).
\(\varphi = 60^{\circ }\)
\(\varphi = 45^{\circ }\)
\(\varphi = 30^{\circ }\)
\(\varphi = 75^{\circ }\)

9000106305

Parte: 
B
Halla la superficie del triángulo \(ABS\). Dadas solo dos coordenadas del punto $B=[2;0;?]$. El punto $B$ está en el plano $\alpha$ definido por la ecuación siguiente \[ \alpha \colon 2x + y - z - 5 = 0. \] El punto \(S\) es el punto de intersección del plano \(\alpha \) y la recta \(k\) que es perpendicular al plano \(\alpha \) y pasa por el punto \(A = [0;0;1]\).
\(\sqrt{3}\)
\(2\)
\(4\)
\(\sqrt{6}\)

9000106306

Parte: 
B
Halla la ecuación general del plano que es perpendicular al plano \(\alpha \) \[ \alpha \colon 2x + y - z - 5 = 0 \] y por el que pasa la recta \(AB\), donde \(A = [0;0;1]\) y \(B\) es un punto en el plano \(\alpha \) definido solo por las primeras dos coordenadas \[ B = [2;0;?]. \]
\(x - y + z - 1 = 0\)
\(x + y - z + 1 = 0\)
\(2x - y + z - 1 = 0\)
\(- 2x + y - z + 1 = 0\)

9000106308

Parte: 
B
Identifica la pareja de planos cuya distancia al plano $\alpha$ es igual a la distancia entre el punto $A=[0;0;1]$ y el plano \(\alpha \). \[ \alpha \colon 2x + y - z - 5 = 0 \]
\(\begin{aligned}[t] 2x + y - z +\phantom{ 1}1& = 0& \\2x + y - z - 11& = 0 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] 2x + y - z +\phantom{ 1}1& = 0& \\2x + y - z - 10& = 0 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] 2x + y - z +\phantom{ 1}1& = 0& \\2x + y - z - 12& = 0 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] 2x + y - z + 1& = 0& \\2x + y - z - 9& = 0 \\ \end{aligned}\)

9000111802

Parte: 
B
Identifica para cuál de las rectas paralelas, su distancia al plano \(\rho \) es igual a \(1\). \[ \begin{aligned}[t] \rho \colon x& = 1 + r, & \\y& = 1 + 2s, \\z& = 1 + r + s;\ r,s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(\begin{aligned}[t] o\colon x& = t, & \\y & = 2 + 2t, \\z & = -1 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = 1 - 2t, & \\y & = -3 - t, \\z & = 2 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 1 - 2t, & \\y & = -3 - t, \\z & = 1 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000111804

Parte: 
B
Identifica la recta paralela a la recta \(s\), sabiendo que la distancia entre ambas es igual a \(\sqrt{5}\). \[ \begin{aligned}[t] s\colon x& = -1 + t,& \\y & = 2t, \\z & = 2 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(\begin{aligned}[t] r\colon x& = 3 - 2t,& \\y & = 3 - 4t, \\z & = 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 1, & \\y & = -1 + 5t, \\z & = 2 - 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = -5 - t,& \\y & = 2 - 2t, \\z & = 2 + t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000111805

Parte: 
B
Identifica el plano paralelo con el plano \(\delta \) sabiendo que la distancia entre los dos planos es igual a \(2\). \[ \delta \colon x - 2y + 2y - 2 = 0 \]
\(\begin{aligned}[t] \beta \colon x& = -4 + 2s, & \\y& = 1 + r + s, \\z& = 1 + r;\ r,s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\gamma \colon - x + 2y - 2z - 2 = 0\)
\(\alpha \colon 2x - 4y + z - 4 = 0\)

9000111806

Parte: 
B
Identifica la recta cuyo ángulo con la recta \(s\) es igual a \(60^{\circ }\). \[ \begin{aligned}[t] s\colon x& = 2 + t, & \\y & = -1 - 2t, \\z & = 3 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(\begin{aligned}[t] r\colon x& = t, & \\y & = -3 + t, \\z & = 1 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 1, & \\y & = -1 - t, \\z & = 3 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = -5 - 2t,& \\y & = 2 + 4t, \\z & = 2 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)