Derivácia funkcie

2000010805

Časť:

Daný zotrvačník sa roztáča tak, že uhol jeho otočenia závisí na čase podľa rovnice \[ \varphi = 4t^2, \] kde uhol otočenia \(\varphi\) udávame v radiánoch a čas \(t\) v sekundách. Za ako dlho sa bude pohybovať uhlovou rýchlosťou \(36\,\frac{\mathrm{rad}}{s}\)? (Pomôcka: Uhlovú rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkcie \(\varphi(t)\), tj. \(\omega(t)=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\).)

\( 4{,}5 \,\mathrm{s}\)

\( 3\,\mathrm{s}\)

\( 288 \,\mathrm{s}\)

\( 9 \,\mathrm{s}\)

2000010804

Časť:

Aby dané teleso mohlo rovnomerne zrýchľovať, musí motor vykonať prácu, ktorá je závislá na čase pohybu vzťahom \[ W=3t^2, \] kde práca \(W\) sa udáva v jouloch a čas \(t\) v sekundách. Určte okamžitý výkon motora v čase \(t=4\,\mathrm{s}\). (Pomôcka: Okamžitý výkon \(P\) môžeme určiť pomocou derivácie funkcie \(W(t)\) tj. \(P(t)=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\).)

\( 24 \,\mathrm{W}\)

\( 48 \,\mathrm{W}\)

\( 8 \,\mathrm{W}\)

\( 12 \,\mathrm{W}\)

2000010803

Časť:

Na obrázku je graf závislosti dráhy na čase pohybujúceho sa telesa (čierna farba). V čase \(t=10\) sekúnd je zostrojená dotyčnica ku grafu (červená farba). Pomocou obrázku určte rýchlosť telesa v čase \(t=10\ \mathrm{s}\). (Pomôcka: Okamžitú rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkcie dráhy, tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)

\( 2 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

\( 0{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

\( 1 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

\( 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

2000010802

Časť:

Pohyb telesa, ktoré sa pohybuje nerovnomerným pohybom je popísaný rovnicou \[ s=t^3-t^2+\frac12 t, \] kde čas \(t\) je meraný v sekundách a dráha \(s\) je meraná v metroch. Určte veľkosť okamžitého zrýchlenia tohoto telesa na konci druhej sekundy jeho pohybu. (Pomôcka: Okamžité zrýchlenie \(a\) môžeme určiť pomocou derivácie funkcie rýchlosti \(v(t)\). Pretože rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), môžeme zrýchlenie určiť pomocou jej druhej derivácie: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).)

\( 10 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

\( 10{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

\( 8{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

\( 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

2000010801

Časť:

Pohyb telesa, ktoré sa pohybuje nerovnomerným pohybom je popísaný rovnicou \[ s=12t-\frac12 t^2, \] kde čas \(t\) je nameraný v sekundách a dráha \(s\) je nameraná v metroch. Určte veľkosť okamžitej rýchlosti, ktorou sa bude teleso pohybovať na konci \(8\) sekundy. (Pomôcka: Okamžitú rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkce: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)

\( 4 \,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)

\( 64\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)

\( 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)

V tom čase už bude teleso stáť (\( v=0\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)).