Derivácia funkcie

Pohyb dvoch telies je popísaný rovnicami $$s_1=\frac{1}{2}{t}^2+6t+1\text{,}{s}_2=\frac{1}{3}{t}^3+t^2+4,$$ kde dráha $s$ je uvedená v metroch a čas $t$ v sekundách. Určte, v akom čase sa budú obidve telesá pohybovať rovnakou rychlosťou.$$$$ Pomôcka: Rýchlosť môžme určiť pomocou derivácie funkcie $s(t)$, tj. $v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$.

Máme telesá $A$, $B$, $C$ a $D$, ktoré sa dajú do pohybu súčasne. Vieme, ako sa mení dráha či rýchlosť daných telies v závislosti na čase: $$\begin{array}{rl}A:s=2t^2+12t+1,& C:v=10t+4,\\ B:s=\frac{1}{3}{t}^3+\frac{t^2}{2}+2,& D:v=\frac{1}{2}{t}^2+1.\end{array}$$ Dráha $s$ je meraná v metroch, čas $t$ v sekundách a rýchlosť $v$ v metroch za sekundu. Určte, ktoré teleso sa v čase $t=1\mathrm{s}$ pohybuje s najväčším zrychlením. $$$$ Pomôcka: Rýchlosť $v(t)$ môžme určiť pomocou derivácie funkcie $s(t)$, tj. $v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$. Zrýchlenie $a(t)$ vieme určiť ako deriváciu funkcie $v(t)$, tj. $a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$. Protože rýchlosť môžme určiť pomocou derivácie funkcie $s(t)$, môžme zrýchlenie určiť pomocou druhej derivácie $s(t)$, tj. $a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}$.

Derivácia funkcie $f:y=\sqrt{\sin x}$ je rovná:

Derivácia funkcie $f:y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ je rovná: