Derivácia funkcie

9000070707

Časť: 
B
Určte prvú deriváciu funkcie \(f\colon y = \root{5}\of{x^{2} - 7x}\). Poznámka: Funkcia \(f\colon y = \root{5}\of{x}\) je definovaná pre \(x\in \left < 0;\infty \right )\).
\(f^{\prime}(x) = \frac{2x-7} {5(x^{2}-7x)^{\frac{4} {5} }} ;\ x\in \left (-\infty ;0\right )\cup \left (7;\infty \right )\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{2x-7} {5(x^{2}-7x)^{\frac{4} {5} }} ;\ x\in \left (-\infty ;0\right \rangle \cup \left \langle 7;\infty \right )\)
\(f^{\prime}(x) = (2x - 7)\root{4}\of{x^{2} - 7x};\ x\in \left (-\infty ;0\right )\cup \left (7;\infty \right )\)
\(f^{\prime}(x) = (2x - 7)\root{4}\of{x^{2} - 7x};\ x\in \left (-\infty ;0\right \rangle \cup \left \langle 7;\infty \right )\)

9000070708

Časť: 
B
Určte prvú deriváciu funkcie \(f\colon y =\ln \left (\frac{1+x} {1-x}\right )\).
\(f^{\prime}(x) = \frac{2} {1-x^{2}} ;\ x\in \left (-1;1\right )\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{2} {1-x^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{-1;1\right \}\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{1-x} {1+x};\ x\in \left (-1;1\right )\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{1-x} {1+x};\ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{-1;1\right \}\)

9000070807

Časť: 
B
Určte prvú deriváciu funkcie \(f\colon y = \frac{x^{4}+3} {x^{2}} + x^{3}\).
\(f'(x) = 3x^{2} + 2x - \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)
\(f'(x) = 6x^{2} - 2x - \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)
\(f'(x) = 3x^{2} + 2x + \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)
\(f'(x) = 6x^{2} - 2x + \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)

9000070808

Časť: 
B
Určte prvú deriváciu funkcie \(f\colon y = \frac{x} {x+1}\).
\(f'(x) = \frac{1} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)
\(f'(x) = - \frac{1} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)
\(f'(x) = \frac{x} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)
\(f'(x) = - \frac{x} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)

9000070809

Časť: 
B
Určte prvú deriváciu funkcie \(f\colon y = 3x^{2}\sin x\).
\(f'(x) = 6x\sin x + 3x^{2}\cos x;\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 6x\cos x;\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 3x^{2}\sin x\cos x;\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) = -3x^{2}\sin x\cos x;\ x\in \mathbb{R}\)

2000010801

Časť: 
C
Pohyb telesa, ktoré sa pohybuje nerovnomerným pohybom je popísaný rovnicou \[ s=12t-\frac12 t^2, \] kde čas \(t\) je nameraný v sekundách a dráha \(s\) je nameraná v metroch. Určte veľkosť okamžitej rýchlosti, ktorou sa bude teleso pohybovať na konci \(8\) sekundy. (Pomôcka: Okamžitú rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkce: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 4 \,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 64\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
V tom čase už bude teleso stáť (\( v=0\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)).

2000010802

Časť: 
C
Pohyb telesa, ktoré sa pohybuje nerovnomerným pohybom je popísaný rovnicou \[ s=t^3-t^2+\frac12 t, \] kde čas \(t\) je meraný v sekundách a dráha \(s\) je meraná v metroch. Určte veľkosť okamžitého zrýchlenia tohoto telesa na konci druhej sekundy jeho pohybu. (Pomôcka: Okamžité zrýchlenie \(a\) môžeme určiť pomocou derivácie funkcie rýchlosti \(v(t)\). Pretože rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), môžeme zrýchlenie určiť pomocou jej druhej derivácie: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).)
\( 10 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 10{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 8{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

2000010803

Časť: 
C
Na obrázku je graf závislosti dráhy na čase pohybujúceho sa telesa (čierna farba). V čase \(t=10\) sekúnd je zostrojená dotyčnica ku grafu (červená farba). Pomocou obrázku určte rýchlosť telesa v čase \(t=10\ \mathrm{s}\). (Pomôcka: Okamžitú rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkcie dráhy, tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 2 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 0{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 1 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

2000010804

Časť: 
C
Aby dané teleso mohlo rovnomerne zrýchľovať, musí motor vykonať prácu, ktorá je závislá na čase pohybu vzťahom \[ W=3t^2, \] kde práca \(W\) sa udáva v jouloch a čas \(t\) v sekundách. Určte okamžitý výkon motora v čase \(t=4\,\mathrm{s}\). (Pomôcka: Okamžitý výkon \(P\) môžeme určiť pomocou derivácie funkcie \(W(t)\) tj. \(P(t)=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\).)
\( 24 \,\mathrm{W}\)
\( 48 \,\mathrm{W}\)
\( 8 \,\mathrm{W}\)
\( 12 \,\mathrm{W}\)