C

2000010804

Część: 
C
Aby dany obiekt poruszał się z równomiernym przyspieszeniem, silnik musi wykonać pracę, która jest powiązana z czasem wzorem \[ W=3t^2, \] gdzie praca \(W\) jest mierzona w dżulach, a czas \(t\) jest mierzony w sekundach. Wyznacz chwilową moc silnika w czasie \(t=4\,\mathrm{s}\). (Wskazówka: Moc chwilową danego obiektu można wyrazić jako pochodną funkcji pracy względem czasu: \(P(t)=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\).)
\( 24 \,\mathrm{W}\)
\( 48 \,\mathrm{W}\)
\( 8 \,\mathrm{W}\)
\( 12 \,\mathrm{W}\)

2000010803

Część: 
C
Mając wykres położenie w funkcji czasu (na czarno) obiektu w ruchu i linię styczną do wykresu w punkcie czasowym \(10\) sekund (na czerwono), znajdź prędkość chwilową tego obiektu w \( 10\) sekund. (Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia względem \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 2 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 0{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 1 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

2000010802

Część: 
C
Rozważ ruch niejednostajny obiektu, którego położenie w funkcji czasu jest podane przez \[ s=t^3-t^2+\frac12 t, \] gdzie czas \(t\) mierzony jest w sekundach, a położenie \(s\) mierzony jest w metrach. Znajdź chwilowe przyspieszenie obiektu w czasie \(t = 2\) s. (Wskazówka: Przyspieszenie chwilowe może być wyrażone jako pochodna funkcji prędkości względem czasu, a ponieważ prędkość jest pochodną funkcji położenia, przyspieszenie chwilowe jest jego drugą pochodną: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).)
\( 10 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 10{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 8{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

2000010801

Część: 
C
Rozważ ruch niejednostajny obiektu, którego położenie w funkcji czasu jest podane przez \[ s=12t-\frac12 t^2, \] gdzie czas \(t\) mierzony jest w sekundach, a położenie \(s\) mierzony jest w metrach. Znajdź chwilową prędkość obiektu w \(8\) sekundach. (Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia względem czasu: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 4 \,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 64\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
W tym momencie obiekt będzie w spoczynku (\( v=0\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)).

2000010605

Część: 
C
Pacjent przyjął pojedynczą dawkę leku \(50\ \mathrm{mg}\). W ciągu \(3\) godzin \(40\%\) dawki zostało wydalonej z jego organizmu. Masa \(m\) (mg) leku w organizmie w czasie \(t\) (godzin) dana jest wzorem \(m(t)=m_0a^t\), gdzie \(m_0\) (mg) jest masą początkową i \(a\) jest wielkością stałą. Oblicz, ile leku pacjent miał w swoim ciele po \(12\) godzinach.
\(6{,}48\ \mathrm{mg}\)
\(1{,}28\ \mathrm{mg}\)
\(4{,}8\ \mathrm{mg}\)

2000010604

Część: 
C
\(10\ \mathrm{mg}\) z \(320\ \mathrm{mg}\) próbki pierwiastka promieniotwórczego pozostała po \(20\) dniach. Oblicz okres połowicznego rozpadu \(T\) (dni) tego pierwiastka, jeśli wiesz, że zależność jego masy \(m\) (mg) w czasie \(t\) (dni) jest dana wzorem \(m(t)=m_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{T}}\), gdzie \(m_0\) (mg) to masa początkowa.
\(T=4\)
\( T=32\)
\( T=16\)

2000010601

Część: 
C
Wykres funkcji \(f(x)=a^x+b~\) ( \(a>0\), \(a\neq1\) ) został przesunięty o 4 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół. Przesunięty wykres przecina oś \(x\) w punkcie \([4;0]\) i przechodzi przez punkt \([8;3]\). Znajdź \(a\) i \(b\) i rozwiąż nierówność \(f(x)\leq 5\).
\( a=\sqrt{2}\), \(b=1\), \( x \in ( -\infty;4\rangle\)
\( a=\sqrt[4]{3}\), \(b=2\), \( x \in ( -\infty;4\rangle\)
\( a=\sqrt{2}\), \(b=-4\), \( x \in ( -\infty;9\rangle\)