C

Załóżmy, że rzucamy obiektem pionowo w górę z prędkością początkową \(v_0=60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Określ czas potrzebny do osiągnięcia przez obiekt maksymalnej wysokości i określ również odpowiednią wysokość maksymalną. \[\] Wskazówka: Pionowy ruch ciała w górę to ruch składający się z ruchu jednostajnie prostoliniowego (pionowo w górę) i swobodnego spadania. Zależność chwilowej wysokości ciała od czasu wyraża wzór \(h=v_0t-\frac12gt^2\), gdzie \(v_0\) jest wielkością prędkości początkowej, a \(g\) to przyspieszenie grawitacyjne. W tym zadaniu przyjmij zaokrągloną wartość \(g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\). Mierzymy czas \(t\) w sekundach i wysokość \(h\) w metrach.

Źródło elektryczne charakteryzuje się napięciem elektromotorycznym \(U_e=60\,\mathrm{V}\) i rezystancją wewnętrzną \(R_i=2\,\Omega\). Określ wartość prądu elektrycznego, przy której będzie maksymalna moc w urządzeniu, a także odpowiednią wartość tej maksymalnej mocy. \[\] Wskazówka: Moc odbiornika (\(P\), jednostka Watt (\(\mathrm{W}\))) zależy od wielkości przepływającego prądu (\(I\), jednostka Amper (\(\mathrm{A}\))) według wzoru \(P=U_eI-R_iI^2\). Własności źródła pełnią rolę parametrów: \(U_e\) jest to napięcie elektromotoryczne i \(R_i\) wewnętrzna rezystancja źródła.

Załóżmy, że \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) są ciałami, które są wprawiane w ruch w tym samym momencie początkowym \(t\). Wiemy, jak zmienia się droga \(s\) lub prędkość \(v\) tych ciał w czasie: \[\begin{aligned} A: \, s=2t^2+12t+1,\qquad&C:\, v=10t+4,\\ B:\, s=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+2,\qquad&D:\, v=\frac12t^2+1.\end{aligned}\] Pozycja \(s\) podana jest w metrach, czas \(t\) w sekundach i prędkość \(v\) w metrach na sekundę. Określ, które ciało porusza się z największym przyspieszeniem w danym momencie \(t=1\,\mathrm{s}\). \[\] Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia \(s(t)\) względem czasu: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\), a przyspieszenie chwilowe można wyrazić jako pochodną funkcji \(v(t)\) względem czasu: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Ponieważ możemy wyznaczyć prędkość za pomocą pochodnej funkcji położenia \(s(t)\), możemy również wyznaczyć przyspieszenie za pomocą drugiej pochodnej \(s(t)\): \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).

Ruch dwóch ciał jest opisany równaniami \[s_1=\frac12t^2+6t+1\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+t^2+4,\] gdzie droga \(s\) podana jest w metrach, a czas \(t\) w sekundach. Określ, w jakim czasie oba ciała będą poruszać się z tą samą prędkością.\[\] Wskazówka: Możemy wyznaczyć prędkość korzystając z pochodnej funkcji \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).