C

2010013701

Część: 
C
Ruch dwóch ciał jest opisany równaniami \[s_1=\frac12t^2+6t+1\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+t^2+4,\] gdzie droga \(s\) podana jest w metrach, a czas \(t\) w sekundach. Określ, w jakim czasie oba ciała będą poruszać się z tą samą prędkością.\[\] Wskazówka: Możemy wyznaczyć prędkość korzystając z pochodnej funkcji \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).
\(t=2\,\mathrm{s}\)
\(t=\sqrt2\,\mathrm{s}\)
\(t=3\,\mathrm{s}\)
Prędkości tych ciał zawsze będą inne.

2010013413

Część: 
C
Która z podanych liczb nie należy do zbioru rozwiązań poniższego równania? \[x^{4}+1+\mathrm{i}=0\]
\(\root{8}\of{2}\left (\cos \frac{3\pi}{16} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi}{16}\right )\)
\(\mathrm{i}\root{4}\of{-1-\mathrm{i}}\)
\(\root{4}\of{-1-\mathrm{i}}\)
\(\root{8}\of{2}\left (\cos \frac{5\pi}{16} + \mathrm{i}\sin \frac{5\pi}{16}\right )\)

2010013412

Część: 
C
Która z liczb nie należy do zbioru rozwiązań poniższego równania? \[x^{4}-1+\mathrm{i}=0\]
\(\root{8}\of{2}\left (\cos \frac{3\pi}{16} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi}{16}\right )\)
\(-\root{4}\of{1-\mathrm{i}}\)
\(-\mathrm{i}\root{4}\of{1-\mathrm{i}}\)
\(\root{8}\of{2}\left (\cos \left(-\frac{\pi}{16}\right) + \mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi}{16}\right)\right )\)

2010013409

Część: 
C
Trzy rozwiązania równania \[ x^{4} + 8\mathrm{i} = 0 \] są równe: \[\begin{aligned}x_{1} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{3}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{3}{8}\pi \right ), \\ x_{2} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{7}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{7}{8}\pi \right ),\\ x_{3} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{15}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{15}{8}\pi \right ).\\ \end{aligned}\] Znajdź czwarte rozwiązanie.
\(x_{4} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{11}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{11}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{9}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{9}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{5}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{1}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{1}{8}\pi \right )\)

2010013408

Część: 
C
Trzy rozwiązania równania \[ x^{4} - 2\mathrm{i} = 0 \] są równe: \[\begin{aligned}x_{1} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{1}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{1}{8}\pi \right ),\\ x_{2} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{5}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5}{8}\pi \right ),\\ x_{3} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{9}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{9}{8}\pi \right ).\\ \end{aligned}\] Znajdź czwarte rozwiązanie.
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{13}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{13}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{11}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{11}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{15}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{15}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{3}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{3}{8}\pi \right )\)

2010013407

Część: 
C
Dwa rozwiązania równania \[ x^{3} + 1 - \mathrm{i} = 0 \] są równe: \[ \begin{aligned}x_{1}& = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi} {4} \right ),& \\x_{2}& = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{11} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{11} {12}\pi \right ). \\ \end{aligned} \] Znajdź trzecie rozwiązanie.
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{19} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{19} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{7} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{7} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{5} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{13} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{13} {12}\pi \right )\)

2010013406

Część: 
C
Znajdź zbiór rozwiązań następującego równania w zbiorze liczb zespolonych. \[ x^{3} + 8\mathrm{i} = 0 \]
\(\left\{2\mathrm{i};\ \sqrt{3} -\mathrm{i};\ -\sqrt{3}-\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ -2\mathrm{i};\ \sqrt{3} -\mathrm{i};\ -\sqrt{3}-\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ -2;\ -\sqrt{3} +\mathrm{i};\ \sqrt{3}+\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ 2;\ -\sqrt{3} +\mathrm{i};\ \sqrt{3}+\mathrm{i}\right\}\)

2010013403

Część: 
C
Wszystkie rozwiązania równania \( x^6+3\sqrt5-6\mathrm{i} = 0 \) mogą być przedstawione, jako punkty w prostokątnym układzie współrzędnych. Jaka jest odległość dwóch najbardziej odległych punktów?
\( 2\sqrt[3]3 \)
\( 2\sqrt3 \)
\( \sqrt3 \)
\( \sqrt[3]9\)
\( 2\sqrt[3]9\)