Geometria v priestore

1103189004

Časť: 
B
Je daný bod \( A=[2;-1;-4] \) a roviny \( \rho \): \( x-y+3z-5=0 \) a \( \sigma \): \( 2x-y-z-8=0 \). Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \), ktorá prechádza bodom \( A \) a je kolmá k obom daným rovinám (viď obrázok).
\( \alpha\colon 4x+7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon -2x+5y-3z-3=0 \)
\( \alpha\colon 4x-7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon 2x-5y+3z+3=0 \)

1103189003

Časť: 
B
Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \beta \), ktorá prechádza priamkou \( p \) danou parametrickými rovnicami \begin{align*} x&=1+2t, \\ y&=-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a je kolmá k rovine \( \alpha \): \( x+3y-z-7=0 \) (viď obrázok).
\( \beta\colon x-3y-8z+7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z-3=0 \)
\( \beta\colon x-3y-8z-7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z+3=0 \)

1103189002

Časť: 
B
Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \beta \), ktorá prechádza bodmi \( M=[-1;1;-3] \) a \( N=[0;2;-1] \) a je kolmá na rovinu \( \alpha \): \( 3x-y+2=0 \) (viď obrázok).
\( \beta\colon x+3y-2z-8=0 \)
\( \beta\colon x+3z+10=0 \)
\( \beta\colon x+3z+3=0 \)
\( \beta\colon x+3y-2z+8=0 \)

1103189001

Časť: 
B
Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \), ktorá je kolmá na priamku \( p \): \begin{align*} x&=7+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a prechádza bodom \( A=[1;0;4] \). Ďalej vypočítajte súradnice bodu \( B \), v ktorom priamka \( p \) pretína rovinu \( \alpha \) (viď obrázok).
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3=0;\ B=[8;2;3] \)
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[8;2;3] \)

1003188907

Časť: 
A
Sú dané rôznobežné roviny \( x-6y+9z-4=0 \) a \( x-2y+3z-4=0 \). Určte parametrické rovnice ich priesečnice \( p \).
\( \begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=\phantom{4+}\ 3t, \\ z&=\phantom{4+}\ 2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4+t, \\ y&=\phantom{4+}\ 3t, \\ z&=\phantom{4+}\ 2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=\frac32+3t , \\ z&=1+2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4+t , \\ y&=\frac32+3t , \\ z&=1+2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003188906

Časť: 
A
Roviny \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) a \( \delta \) sú dané svojimi všeobecnými rovnicami: \[ \begin{aligned} &\alpha\colon \frac23x-4y+6z-\frac83=0; \\ &\beta\colon x-2y+3z-4=0; \\ &\gamma\colon 2x-12y+18z-4 =0; \\ &\delta\colon x-6y+9z-4 =0. \end{aligned} \] Určte, ktoré z nasledujúcich tvrdení nie je pravdivé.
\( \alpha \parallel\delta\text{, }\alpha\neq\delta \)
Roviny \( \beta \) a \( \delta \) sú rôznobežné.
\( \gamma\parallel\delta\text{, }\gamma\neq\delta \)
Roviny \( \alpha \) a \( \beta \) sú rôznobežné.
\( \alpha = \delta \)

1003188905

Časť: 
A
Vyšetrite vzájomnú polohu roviny \( \rho \): \( 5x-4y+z-4=0 \) a priamky \( p \) danej parametrickými rovnicami: \[ \begin{aligned} x&=-1+t,\\ y&=2-2t,\\ z&=3+t;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p \) pretína rovinu \( \rho \)
\( p\parallel \rho\text{, } p\not{\!\!\subset}\rho \)
\( p \subset \rho \)

1003188904

Časť: 
A
Vyšetrite vzájomnú polohu roviny \( \rho \): \( 7x-2y+z-2=0 \) a priamky \( p \) danej parametrickými rovnicami: \[ \begin{aligned} x&=3+t, \\ y&=-5-2t, \\ z&=3-11t;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p\parallel \rho\text{, }p\not{\!\!\subset}\rho \)
\( p \subset \rho \)
\( p \) pretína rovinu \( \rho \)

1003188903

Časť: 
A
Zistite vzájomnú polohu roviny \( \rho \): \( 2x-y+z-2=0 \) a priamky \( p \) danej parametrickými rovnicami: \[ \begin{aligned} x&=2-t, \\ y&=5-2t, \\ z&=3;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p \subset \rho \)
\( p\parallel\rho\text{, }p\not{\!\!\subset} \rho \)
\( p \) pretína rovinu \( \rho \)