Geometria v priestore

2010016114

Časť: 
C
Majme bod \(B\), ktorý je prienikom guľovej plochy \(x^2 + y^2 + z^2 + 4x + 2y - 4z - 8 = 0\) s osou \(y\) sústavy súradníc. Určte rovnice všetkých dotykových rovín ku danej guľovej ploche v bode \(B\).
\(2x -3y -2z -12 = 0\), \(2x + 3y - 2z -6 = 0\)
\(2x + 3y - 2z +12 = 0\), \(2x -3 y -2z +6 = 0\)
\(2x -3y -2z -12 = 0\), \(2x -3 y -2z +6 = 0\)
\(2x + 3y - 2z +12 = 0\), \(2x + 3y - 2z -6 = 0\)

2010016113

Časť: 
C
Majme bod \(A\), ktorý je prienikom guľovej plochy \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 4z - 5 = 0\) s osou \(z\) sústavy súradníc. Určte rovnice všetkých dotykových rovín ku danej guľovej ploche v bode \(A\).
\(2x + y + 3z + 15 = 0\), \(2x + y - 3z + 3 = 0\)
\(2x + y - 3z -15 = 0\), \(2x + y + 3z - 3 = 0\)
\(2x + y + 3z + 15 = 0\), \(2x + y + 3z - 3 = 0\)
\(2x + y - 3z - 15 = 0\), \(2x + y - 3z + 3 = 0\)

2010016112

Časť: 
C
Dané sú guľová plocha \((x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 4\) a rovina \(2x - 2 y + z + d = 0\). Nájdite všetky hodnoty parametra \(d\), pre ktoré je ich prienikom prázdna množina.
\( d \in (-\infty;-9) \cup (3;\infty)\)
\( d \in (-\infty;-3) \cup (9;\infty)\)
\( d \in (-\infty;-15) \cup (9;\infty)\)
\( d \in (-\infty;-9) \cup (15;\infty)\)

2010016111

Časť: 
C
Dané sú guľová plocha \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 9\) a rovina \(2x + y - 2z + d = 0\). Nájdite všetky hodnoty parametra \(d\), pre ktoré je ich prienikom kružnica.
\( d \in (-15;3)\)
\( d \in (-3;15)\)
\( d \in (-33;21)\)
\( d \in (-21;33)\)

2010016110

Časť: 
C
Určte pravdivé tvrdenie o rovine \(\sigma : 2x + y - 2z + 13 = 0\) a guľovej ploche \(\kappa : x^2 + y^2 + z^2 - 2x -2y - 4z + 2 = 0\).
Rovina \(\sigma\) a guľová plocha \(\kappa\) nemajú žiadne spoločné body.
Rovina \(\sigma\) pretína guľovú plochu \(\kappa\), ale neprechádza jej stredom.
Rovina \(\sigma\) je dotykovou rovinou ku guľovej ploche \(\kappa\).
Rovina \(\sigma\) pretína guľovú plochu \(\kappa\) a prechádza jej stredom.

2010016109

Časť: 
C
Určte pravdivé tvrdenie o rovine \(\rho : x + y - z + 1 = 0\) a guľovej ploche \(\kappa : x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 11 = 0\).
Rovina \(\rho\) je dotyková rovina ku guľovej ploche \(\kappa\).
Rovina \(\rho\) pretína guľovú plochu \(\kappa\) a prechádza jej stredom.
Rovina \(\rho\) a guľová plocha \(\kappa\) nemajú žiadne spoločné body.
Rovina \(\rho\) pretína guľovú plochu \(\kappa\), ale neprechádza jej stredom.

2010016108

Časť: 
C
Určte pravdivé tvrdenie o priamke \(q: x = 4t, y = t, z = -3t\), \(t \in \mathbb{R}\) a guľovej ploche \(\kappa : x^2 + y^2 + z^2-6x-8z = 0\).
Priamka \(q\) má s guľovou plochou \(\kappa\) spoločný práve jeden bod.
Priamka \(q\) nemá s guľovou plochou \(\kappa\) spoločný žiadny bod.
Z daných informácií nie je možné jednoznačne určiť počet spoločných bodov priamky \(q\) a guľovej plochy \(\kappa\).
Priamka \(q\) má s guľovou plochou \(\kappa\) spoločné práve dva body.

2010016107

Časť: 
C
Určte pravdivé tvrdenie o priamke \(p: x = t, y = t, z = -2t\), \(t \in \mathbb{R}\) a guľovej ploche \(\kappa : (x - 3)^2 + y^2 + (z - 4)^2 = 25\).
Priamka \(p\) má s guľovou plochou \(\kappa\) spoločné práve dva body.
Z daných informácií nie je možné jednoznačne určiť počet spoločných bodov priamky \(p\) a guľovej plochy \(\kappa\).
Priamka \(p\) má s guľovou plochou \(\kappa\) spoločný práve jeden bod.
Priamka \(p\) nemá s guľovou plochou \(\kappa\) spoločný žiadny bod.

2010016105

Časť: 
C
Majme body \(C = [2; -4; 3]\) a \(D = [-1; -1; 9]\). Určte prienik guľovej plochy \((x − 1)^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 9\) a polpriamky opačnej k polpriamke \(CD\).
\( [3;-5;1]\)
\( [3;-5;1]\), \( [1;-3;5]\)
\( [-3;5;-1]\), \( [-1;3;-5]\)
\( [1;-3;5]\)