Geometria v priestore

1003124004

Časť: 
A
Určte hodnotu parametra \( a\in\mathbb{R} \) tak, aby bod \( B=[1;4;5] \) ležal na priamke \( p \) s parametrickým vyjadrením: \[\begin{aligned} x&=-1+m,\\ y&=2+am,\\ z&=3+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}\]
\( a=1 \)
\( a=-1 \)
\( a=2 \)
taká hodnota \( a \) neexistuje

1003124003

Časť: 
A
Určte chýbajúce súradnice bodov \( B=[x_B; y_B;-3] \) ležiaceho na priamke \( p \) s parametrickým vyjadrením: \[\begin{aligned} x&=-1+\frac14m,\\ y&=2+m,\\ z&=5-m;\ m\in\mathbb{R}\end{aligned} \]
\( B=[1;10;-3] \)
\( B=[-3;-6;-3] \)
\( B=[1;3;-3] \)
\( B=[-3;6;-3] \)

1003124002

Časť: 
A
Z ponúknutých možností vyberte parametrické rovnice, ktoré určujú priamku \( p \) prechádzajúcu bodmi \( A=[-2;0;1] \) a \( B=[2;0;-3] \).
\( \begin{aligned} p\colon x&=2-t, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2+4t, \\ y&=0, \\ z&=-3+4t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2-2t, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003124001

Časť: 
A
Je daná priamka \( q=\left\{[3t;2-2t;1+t]\text{, }t\in\mathbb{R}\right\} \) a body \( A=[-6;6;-1] \), \( B=[-3;0;0] \), \( C=[0;2;1] \) a \( D=[3;0;2] \). Vyberte z týchto štyroch bodov všetky, ktoré ležia na priamke \( q \), a túto možnosť označte.
\( A \), \( C \), \( D \)
\( B \), \( C \), \( D \)
\( B \), \( C \)
\( A \), \( B \), \( C \)

1103212905

Časť: 
C
Pravidelný štvorboký ihlan \( ABCDV \) s dĺžkou hrany podstavy \( 6 \) a telesovou výškou \( 6 \) je umiestený v súradnicovom systéme (viď obrázok). Určte parametrické vyjadrenie priesečnice \( p \) rovín \( \alpha \) a \( \beta \), kde \( \alpha \) je rovina prechádzajúce bodmi \( B \), \( C \) a \( V \) a \( \beta \) je rovina prechádzajúce bodmi \( A \), \( D \) a \( V \). Ďalej vypočítajte veľkosť odchýlky \( \varphi \) medzi rovinami \( \alpha \) a \( \beta \). Odchýlku \( \varphi \) zaokrúhlite na minúty.
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=0;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3+t, &\\ z&=6+2t;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)

1103212904

Časť: 
C
Pravidelný štvorboký ihlan \( ABCDV \) s dĺžkou hrany podstavy \( 6 \) a telesovou výškou \( 6 \) je umiestnený v súradnicovom systéme (viď obrázok). Bod \( S \) je stredom hrany \( AD \). Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \) prechádzajúcou bodmi \( B \), \( V \) a \( C \) a vypočítajte vzdialenosť bodu \( S \) od tejto roviny.
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)

1103212903

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Vypočítajte odchýlku \( \varphi \) priamky \( AF \) od roviny \( \alpha \) prechádzajúcej bodmi \( E \), \( D \) a \( C \). Nápoveda: Odchýlka priamky od roviny je odchýlka priamky od jej kolmého priemetu do tejto roviny.
\( \varphi = 30^{\circ} \)
\( \varphi = 15^{\circ} \)
\( \varphi = 45^{\circ} \)
\( \varphi = 60^{\circ} \)

1103212902

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Bod \( S \) je stredom steny \( ABFE \) a body \( K \) a \( L \) sú po rade stredy hrán \( DH \) a \( CG \) . Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \) prechádzajúcimi bodmi \( A \), \( B \) a \( L \) a vypočítajte vzdialenosť bodu \( S \) od roviny \( \alpha \).
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)

1103212901

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných priamok \( p=KL \) a \( q=MN \), kde body \( K \), \( L \), \( M \) a \( N \) sú po rade stredy hrán \( CD \), \( BC \), \( EH \) a \( EF \) .
\( |pq|=\sqrt6 \)
\( |pq|=2\sqrt3 \)
\( |pq|=3\sqrt2 \)
\( |pq|=2\sqrt2 \)