Adam dostal za úlohu nájsť deriváciu funkcie $$ f(x)=\mathrm{e}^{x^2} $$ v bode $x=0$. Postupoval nasledovne:
Najprv si uvedomil, že ide o zloženú funkciu, kde vnútornou funkciou je exponenciálna funkcia $y=e^x$ a vonkajšou funkciou je kvadratická funkcia $y=x^2$.
Funkciu $f$ derivoval pomocou pravidla pre derivovanie zložených funkcií: $$ f'(x)=2\cdot (\mathrm{e}^x )^1\cdot (\mathrm{e}^x )'=2\cdot \mathrm{e}^x\cdot \mathrm{e}^x=2\cdot (\mathrm{e}^x )^2 $$
Dosadením $x=0$ získal hodnotu derivácie v tomto bode: $$ f'(0)=2\cdot (\mathrm{e}^0 )^2=2\cdot 1^2=2 $$
Je Adamov postup správny? Vysvetlite.
Nie. Vnútorné a vonkajšie funkcie sú určené nesprávne.
Áno, postup je správny.
Nie. Rovnosť $2\cdot (\mathrm{e}^x )^1\cdot (\mathrm{e}^x )'=2\cdot \mathrm{e}^x\cdot \mathrm{e}^x$ nie je pravdivá.
Nie. Derivácia funkcie $f$ je $f'(x)=\mathrm{e}^{x^2 }$ a platí, že $f'(0)=\mathrm{e}^0=1$.
Chyba je hneď na začiatku, keď Adam nesprávne pochopil zápis exponentov. Namiesto $\mathrm{e}^{x^2}$, čo znamená $\mathrm{e}^{(x^2 )}$ Adam použil $(\mathrm{e}^x )^2$, čo sa rovná $\mathrm{e}^{2x}$.
Správny postup je nasledovný: Vnútorná funkcia je kvadratická funkcia $y=x^2$ a vonkajšia funkcia je exponenciálna funkcia $y=\mathrm{e}^x$. Pre deriváciu funkcie $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}$ platí: $$ f'(x)=\mathrm{e}^{x^2 }\cdot (x^2)'=\mathrm{e}^{x^2 }\cdot 2x=2x\cdot \mathrm{e}^{x^2 } $$
Dosadením $x=0$ získame hodnotu derivácie v tomto bode:
$$ f'(0)=2\cdot 0\cdot \mathrm{e}^{0^2}=0 $$
Z grafu funkcie $f$ vidíme, že derivácia v bode $x=0$ je skutočne nulová (dotyčnica je rovnobežná s osou $x$).
