Pochodne

2000010805

Część:

Koło zamachowe obraca się tak, że wymiata kąt z szybkością \[ \varphi = 4t^2, \] gdzie kąt \(\varphi\) jest mierzony w radianach, a czas \(t\) jest mierzony w sekundach. W jakim czasie chwilowa prędkość kątowa koła zamachowego jest równa \(36\,\frac{\mathrm{rad}}{s}\)? (Wskazówka: Chwilową prędkość kątową można wyrazić jako pochodną funkcji \(\varphi(t)\) względem czasu: \(\omega(t)=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\).)

\( 4{,}5 \,\mathrm{s}\)

\( 3\,\mathrm{s}\)

\( 288 \,\mathrm{s}\)

\( 9 \,\mathrm{s}\)

2000010804

Część:

Aby dany obiekt poruszał się z równomiernym przyspieszeniem, silnik musi wykonać pracę, która jest powiązana z czasem wzorem \[ W=3t^2, \] gdzie praca \(W\) jest mierzona w dżulach, a czas \(t\) jest mierzony w sekundach. Wyznacz chwilową moc silnika w czasie \(t=4\,\mathrm{s}\). (Wskazówka: Moc chwilową danego obiektu można wyrazić jako pochodną funkcji pracy względem czasu: \(P(t)=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\).)

\( 24 \,\mathrm{W}\)

\( 48 \,\mathrm{W}\)

\( 8 \,\mathrm{W}\)

\( 12 \,\mathrm{W}\)

2000010803

Część:

Mając wykres położenie w funkcji czasu (na czarno) obiektu w ruchu i linię styczną do wykresu w punkcie czasowym \(10\) sekund (na czerwono), znajdź prędkość chwilową tego obiektu w \( 10\) sekund. (Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia względem \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)

\( 2 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

\( 0{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

\( 1 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

\( 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

2000010802

Część:

Rozważ ruch niejednostajny obiektu, którego położenie w funkcji czasu jest podane przez \[ s=t^3-t^2+\frac12 t, \] gdzie czas \(t\) mierzony jest w sekundach, a położenie \(s\) mierzony jest w metrach. Znajdź chwilowe przyspieszenie obiektu w czasie \(t = 2\) s. (Wskazówka: Przyspieszenie chwilowe może być wyrażone jako pochodna funkcji prędkości względem czasu, a ponieważ prędkość jest pochodną funkcji położenia, przyspieszenie chwilowe jest jego drugą pochodną: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).)

\( 10 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

\( 10{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

\( 8{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

\( 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

2000010801

Część:

Rozważ ruch niejednostajny obiektu, którego położenie w funkcji czasu jest podane przez \[ s=12t-\frac12 t^2, \] gdzie czas \(t\) mierzony jest w sekundach, a położenie \(s\) mierzony jest w metrach. Znajdź chwilową prędkość obiektu w \(8\) sekundach. (Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia względem czasu: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)

\( 4 \,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)

\( 64\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)

\( 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)

W tym momencie obiekt będzie w spoczynku (\( v=0\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)).