Adam měl za úkol vypočítat derivaci funkce $$ f(x)=\mathrm{e}^{x^2} $$ v bodě $x=0$. Postupoval následovně:
Nejprve si uvědomil, že se jedná o složenou funkci, kde vnitřní funkcí je exponenciální funkce $y=e^x$ a vnější funkcí je kvadratická funkce $y=x^2$.
Funkci $f$ následně zderivoval pomocí řetězového pravidla pro derivování složené funkce: $$ f'(x)=2\cdot (\mathrm{e}^x )^1\cdot (\mathrm{e}^x )'=2\cdot \mathrm{e}^x\cdot \mathrm{e}^x=2\cdot (\mathrm{e}^x )^2 $$ Dosazením $x=0$ dostal hodnotu derivace v tomto bodě: $$ f'(0)=2\cdot (\mathrm{e}^0 )^2=2\cdot 1^2=2 $$ Počítal Adam správně? Zdůvodněte.
Ne. Je chybně určena vnitřní a vnější funkce.
Ano. Postup je v pořádku.
Ne. Rovnost $2\cdot (\mathrm{e}^x )^1\cdot (\mathrm{e}^x )'=2\cdot \mathrm{e}^x\cdot \mathrm{e}^x$ je neplatná.
Ne. Derivace funkce $f$ je rovna $f'(x)=\mathrm{e}^{x^2 }$, a platí $f'(0)=\mathrm{e}^0=1$.
Chyba je hned na začátku. Podle dohody o zapisování mocnin v exponentech se zápisem $\mathrm{e}^{x^2}$ rozumí výraz $\mathrm{e}^{(x^2 )}$, Adam však počítal s výrazem $(\mathrm{e}^x )^2$, který je roven $\mathrm{e}^{2x}$.
Správný postup je tedy následující: Vnitřní funkcí je kvadratická funkce $y=x^2$, vnější funkcí je exponenciální funkce $y=\mathrm{e}^x$. Pro derivaci funkce $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}$ pak platí: $$ f'(x)=\mathrm{e}^{x^2 }\cdot (x^2)'=\mathrm{e}^{x^2 }\cdot 2x=2x\cdot \mathrm{e}^{x^2 } $$ Dosazením $x=0$ dostaneme hodnotu derivace v tomto bodě: $$ f'(0)=2\cdot 0\cdot \mathrm{e}^{0^2}=0 $$ Z grafu funkce $f$f na obrázku je patrné, že derivace je v bodě $x=0$ skutečně nulová (tečna je rovnoběžná s osou $x$).
