Geometria analityczna w przestrzeni

1103212201

Część: 
C
Prosta \( p \) określona punktami \( M=[4;2;0] \) i \( N=[6;6;7] \) (spójrz na rysunek). Wskaż równanie parametryczne prostej \( p' \), która jest symetryczna do prostej \( p \) w płaszczyźnie symetrii w układzie współrzędnych \( xy \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212202

Część: 
C
Dana jest prosta \( p \) określona punktami \( M=[4;3;2] \) i \( N=[0;6;7] \) (spójrz na rysunek). Wskaż równanie parametryczne prostej \( p' \), która jest symetryczna do prostej \( p \) w płaszczyźnie symetrii w układzie współrzędnych \( yz \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212203

Część: 
C
Dana jest prosta \( p \) określona punktami \( M=[4;3;2] \) i \( N=[8;0;5] \) (spójrz na rysunek). Wskaż równanie parametryczne prostej \( p' \), która jest symetryczna do prostej \( p \) w płaszczyźnie symetrii w układzie współrzędnych\( xz \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=0, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=-3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8-4t, \\ y&=3t, \\ z&=5-3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212204

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o krawędzi równej \( 2 \) znajduje się w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Punkt \( M \) to środek krawędzi \( EF \). Wskaż równanie ogólne płaszczyzny \( \rho \) przechodzącej przez punkty \( B \), \( D \), i \( G \) oraz oblicz odległość punktu \( M \) do płaszczyzny \( \rho \).
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)

1103212205

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o krawędzi równej \( 2 \) znajduje się w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Oblicz odległość pomiędzy równoległymi płaszczyznami \( \alpha \) i \( \beta \), gdzie \( \alpha \) przechodzi przez\( B \), \( D \) i \( G \) a \( \beta \) przechodzi przez \( A \), \( F \) i \( H \).
\( |\alpha\beta|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{4\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}4 \)

1103212206

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi równej \( 2 \) jest umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Prosta \( p \) to prosta przecięcia płaszczyzn \( \alpha \) i \( \beta \), gdzie \( \alpha \) przechodzi przez \( C \), \( F \) i \( H \) a \( \beta \) przechodzi przez \( A \), \( F \) i \( H \). Wskaż równanie parametryczne prostej \( p \) i oblicz miarę kąta \( \varphi \) pomiędzy płaszczyznami \( \alpha \) i \( \beta \) . Zaokrągli \( \varphi \) do pełnych minut.
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2t, & \varphi&\doteq 90^{\circ} \\ y&=2t, & & \\ z&=2+2t;\ t\in\mathbb{R}, \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 90^{\circ}\\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&= 2t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=2t, & & \\ z&=2t;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)

1103212901

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi równej \( 2 \) jednostki znajduje się w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Oblicz odległość pomiędzy prostymi równoległymi \( p=KL \) i \( q=MN \), gdzie punkty \( K \), \( L \), \( M \) i \( N \) to środki krawędzi \( CD \), \( BC \), \( EH \) i \( EF \).
\( |pq|=\sqrt6 \)
\( |pq|=2\sqrt3 \)
\( |pq|=3\sqrt2 \)
\( |pq|=2\sqrt2 \)

1103212902

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o krawędzi równej \( 2 \) jednostki jest umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). \( S \) to środek ściany \( ABFE \), \( K \) i \( L \) to środki krawędzi \( DH \) i \( CG \). Wskaż równanie płaszczyzny \( \alpha \) przechodzącej przez punkty \( A \), \( B \) i \( L \), oraz oblicz odległość punktu \( S \) od \( \alpha \).
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)

1103212903

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi równej \( 2 \) jednostki został umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Wyznacz kąt \( \varphi \) pomiędzy płaszczyzną \( \alpha \) przechodzącą przez punkty \( E \), \( D \) i \( C \) a prostą \( AF \). Wskazówka: Kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną to kąt pomiędzy prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę.
\( \varphi = 30^{\circ} \)
\( \varphi = 15^{\circ} \)
\( \varphi = 45^{\circ} \)
\( \varphi = 60^{\circ} \)

1103212904

Część: 
C
Dany jest ostrosłup \( ABCDV \), którego podstawą jest prostokąt, długość podstawy jest równa \( 6 \) jednostek, jego wysokość jest równa \( 6 \) jednostek. Ostrosłup został umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Punkt \( S \) to środek krawędzi \( AD \). Wyznacz równanie płaszczyzny \( \alpha \) przechodzącej przez punkty \( B \), \( V \) i \( C \) oraz oblicz odległość punktu \( S \) od \( \alpha \).
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)