Geometria analityczna w przestrzeni

9000111807

Część: 
B
Wyznacz prostą tak, aby kąt pomiędzy tą prostą a płaszczyzną \[ 2x - y + 3z - 5 = 0 \] wynosił \(30^{\circ }\).
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = 2 + t, & \\y & = 1 + 3t, \\z & = -2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] r\colon x& = -2t, & \\y & = -3 + t, \\z & = 1 - 3t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 2 + 3t, & \\y & = 3 - 2t, \\z & = 3 + t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000111808

Część: 
B
Wyznacz płaszczyznę tak, aby kąt pomiędzy tą płaszczyzną a płaszczyzną \(\rho \) wynosił \(45^{\circ }\). \[ \rho \colon \begin{aligned}[t] x& = 1 + r - 2s, & \\y& = 3 - r + 2s, \\z& = -5 - 4r;\ r,\; s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(\gamma \colon 3x - 2 = 0\)
\(\beta \colon 2z - 2 = 0\)
\(\alpha \colon x + y - 2 = 0\)

9000117401

Część: 
B
Określ część wspólną przecięcia płaszczyzn \(\rho \) i \(\sigma \). \[\begin{aligned} \rho \colon 2x - 5y + 4z - 10 = 0,\qquad \sigma \colon x - y - z - 2 = 0 & & \end{aligned}\]
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = 3t, & \\y & = -2 + 2t, \\z & = t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 2s - 10,& \\y & = 5s - 10, \\z & = s;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] a\colon x& = 2u - 4,& \\y & = 2u - 4, \\z & = u;\ u\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] b\colon x& = 3v + 1,& \\y & = v - 2, \\z & = v;\ v\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000117408

Część: 
B
Wskaż płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny \(\rho \). \[\begin{aligned} \rho \colon 2x - 3y + 7z - 2 = 0 & & \end{aligned}\]
\(\omega \colon x + 3y + z + 7 = 0\)
\(\tau \colon - 2x + 3y - 7z + 2 = 0\)
\(\nu \colon - 2x - 3y + 7z + 2 = 0\)
\(\sigma \colon 7x - 3y + 2z - 2 = 0\)

9000117409

Część: 
B
Wskaż płaszczyznę równoległą do \(\rho \) i przechodzącą przez punkt \(M\). \[\begin{aligned} \rho \colon x - 2y + 5z - 3 = 0,\qquad M = [3;-1;1] & & \end{aligned}\]
\(\tau \colon x - 2y + 5z - 10 = 0\)
\(\sigma \colon 3x - y + z - 3 = 0\)
\(\nu \colon x - 2y + 5z + 1 = 0\)
\(\omega \colon 3x - y + z - 11 = 0\)

9000117410

Część: 
B
Określ wartość rzeczywistą parametrów \(p\) i \(q\) tak, aby \(\rho \) i \(\sigma \) były płaszczyznami równoległymi, nie pokrywającymi się. \[\begin{aligned} \rho \colon 2x - 3y + 5z + 6 = 0,\qquad \sigma \colon 4x + py + qz - 2 = 0 & & \end{aligned}\]
\(p = -6;\ q = 10\)
\(p = 6;\ q = 10\)
\(p = 6;\ q = -10\)
\(p = -6;\ q = -10\)

1003233605

Część: 
C
Dane są proste skośne $p$ i $q$. \begin{align*} p\colon x&= 1-t, & q\colon x&= 1-2s, \\ y&= 1+t, & y&=s, \\ z&= 3+2t;\ t\in\mathbb{R}, & z&= 3+3s;\ s\in\mathbb{R}. \end{align*} Wskaż równanie parametryczne prostej $r$, przecinającej obie proste $p$ i $q$ leżącej na płaszczyźnie $x+2y-z+2=0$.
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+2m, \\ y&=3-3m, \\ z&=7-4m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3+3m, \\ z&=7-m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+3m, \\ y&=3+2m, \\ z&=7+5m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3-m, \\ z&=7+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003233607

Część: 
C
Określ wzajemne położenie trzech płaszczyzn: \begin{align*} \alpha\colon\ &2x+y+9z-18=0, \\ \beta\colon\ &x+3y+2z+16=0, \\ \gamma\colon\ &x+2y+3z+6=0. \end{align*}
Płaszczyzny $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ przecinają się na prostej.
Każda z dwóch płaszczyzn przecina się, a proste przecięcia to trzy różne proste równoległe do siebie.
Trzy płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie.