Geometria analityczna w przestrzeni

9000106304

Część: 
B
Wyznacz trzecią współrzędną punktu \(B = [2;0;?]\) tak, aby punkt leżał na płaszczyźnie \(\alpha \) wyrażonej równaniem \[ \alpha \colon 2x + y - z - 5 = 0. \] Za pomocą punktu \(B\) wyznacz kąt \(\varphi \) pomiędzy płaszczyzną \(\alpha \), a prostą \(AB\), jeśli \(A = [0;0;1]\).
\(\varphi = 60^{\circ }\)
\(\varphi = 45^{\circ }\)
\(\varphi = 30^{\circ }\)
\(\varphi = 75^{\circ }\)

9000106305

Część: 
B
Oblicz pole trójkąta \(ABS\). Podano dwie pierwsze współrzędne punktu \(B = [2;0;?]\) Punkt B leży na płaszczyźnie \(\alpha \) określonej równaniem \[ \alpha \colon 2x + y - z - 5 = 0. \] Punkt \(S\) jest punktem przecięcia płaszczyzny \(\alpha \) i prostej \(k\), która jest prostopadła do \(\alpha \) i przechodzi przez punkt \(A = [0;0;1]\).
\(\sqrt{3}\)
\(2\)
\(4\)
\(\sqrt{6}\)

9000106306

Część: 
B
Wyznacz równanie skalarne płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny \(\alpha \) \[ \alpha \colon 2x + y - z - 5 = 0 \] zawierającej prostą \(AB\), gdzie \(A = [0;0;1]\) i \(B\) jest punktem na płaszczyźnie \(\alpha \) określonym przez dwie pierwsze współrzędne \[ B = [2;0;?]. \]
\(x - y + z - 1 = 0\)
\(x + y - z + 1 = 0\)
\(2x - y + z - 1 = 0\)
\(- 2x + y - z + 1 = 0\)

9000106308

Część: 
B
Wyznacz parę płaszczyzn tak, aby odległość pomiędzy nimi była taka sama jak odległość pomiędzy punktem \(A = [0;0;1]\) a płaszczyzną \(\alpha \) \[ \alpha \colon 2x + y - z - 5 = 0. \]
\(\begin{aligned}[t] 2x + y - z +\phantom{ 1}1& = 0& \\2x + y - z - 11& = 0 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] 2x + y - z +\phantom{ 1}1& = 0& \\2x + y - z - 10& = 0 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] 2x + y - z +\phantom{ 1}1& = 0& \\2x + y - z - 12& = 0 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] 2x + y - z + 1& = 0& \\2x + y - z - 9& = 0 \\ \end{aligned}\)

9000111802

Część: 
B
Wskaż prostą równoległą do płaszczyzny \(\rho \) tak, aby odległość pomiędzy prostą a płaszczyzną wynosiła \(1\). \[ \begin{aligned}[t] \rho \colon x& = 1 + r, & \\y& = 1 + 2s, \\z& = 1 + r + s;\ r,s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(\begin{aligned}[t] o\colon x& = t, & \\y & = 2 + 2t, \\z & = -1 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = 1 - 2t, & \\y & = -3 - t, \\z & = 2 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 1 - 2t, & \\y & = -3 - t, \\z & = 1 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000111804

Część: 
B
Wyznacz prostą tak, aby była równoległa do \(s\), a odległość pomiędzy obiema prostymi wynosiła \(\sqrt{5}\). \[ \begin{aligned}[t] s\colon x& = -1 + t,& \\y & = 2t, \\z & = 2 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(\begin{aligned}[t] r\colon x& = 3 - 2t,& \\y & = 3 - 4t, \\z & = 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 1, & \\y & = -1 + 5t, \\z & = 2 - 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = -5 - t,& \\y & = 2 - 2t, \\z & = 2 + t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000111805

Część: 
B
Wskaż płaszczyznę tak, aby była równoległa do płaszczyzny \(\delta \), a odległość pomiędzy obiema płaszczyznami wynosiła \(2\). \[ \delta \colon x - 2y + 2y - 2 = 0 \]
\(\begin{aligned}[t] \beta \colon x& = -4 + 2s, & \\y& = 1 + r + s, \\z& = 1 + r;\ r,s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\gamma \colon - x + 2y - 2z - 2 = 0\)
\(\alpha \colon 2x - 4y + z - 4 = 0\)

9000111806

Część: 
B
Wyznacz prostą tak, aby kąt pomiędzy tą prostą a prostą \(s\) wynosił \(60^{\circ }\). \[ \begin{aligned}[t] s\colon x& = 2 + t, & \\y & = -1 - 2t, \\z & = 3 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(\begin{aligned}[t] r\colon x& = t, & \\y & = -3 + t, \\z & = 1 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 1, & \\y & = -1 - t, \\z & = 3 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = -5 - 2t,& \\y & = 2 + 4t, \\z & = 2 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)