Geometria analityczna w przestrzeni

1103212905

Część: 
C
Dany jest ostrosłup \( ABCDV \), którego podstawą jest prostokąt, długość krawędzi jest równa \( 6 \) jednostek a jego wysokość \( 6 \) jednostek. Ostrosłup jest umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Wyznacz równanie parametryczne prostej przecięcia \( p \) płaszczyzny \( \alpha \) i \( \beta \), gdzie \( \alpha \) przechodzi przez punkty \( B \), \( C \) i \( V \) oraz \( \beta \) przechodzi przez punkty \( A \), \( D \) i \( V \). Jaka jest miara kąta \( \varphi \) pomiędzy płaszczyznami \( \alpha \) i \( \beta \). Zaokrągli \( \varphi \) do pełnych minut.
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=0;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3+t, &\\ z&=6+2t;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)

1103233601

Część: 
C
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ długość jego krawędzi jest równa $1$, sześcian umieszczono w układzie współrzędnych. W sześcianie podświetlono czworościan foremny $ACHF$ (spójrz na rysunek). Oblicz jego prostopadłą wysokość. \[ \] Wskazówka: Oblicz odległość pomiędzy punktem $F$ a płaszczyzną $ACH$.
$\frac{2\sqrt3}3$
$\frac{\sqrt3}3$
$\frac{2\sqrt6}3$
$\frac23$

1103233602

Część: 
C
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ długość jego krawędzi jest równa $1$, sześcian umieszczono w układzie współrzędnych. W sześcianie podświetlono czworościan foremny $ACHF$ (spójrz na rysunek). Oblicz odległość pomiędzy przeciwległymi krawędziami czworościanu. \[ \] Wskazówka: Przeciwległe krawędzie czworościanu leżą na prostych skośnych. Ich odległość jest taka sama jak odległość punktu środkowego jednej krawędzi do przeciwległej krawędzi.
$1$
$\sqrt3$
$\frac{\sqrt3}2$
$\frac{\sqrt5}2$

1103233603

Część: 
C
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$, którego krawędź jest równa $1$, sześcian umieszczono w układzie współrzędnych. W sześcianie podświetlono foremny czworościan $ACHF$ (spójrz na rysunek). Wskaż miarę kąta pomiędzy ścianami oraz zaokrągli wynik do pełnych minut.
$70^{\circ}32'$
$54^{\circ}44'$
$45^{\circ}$
$51^{\circ}4'$

2010008703

Część: 
C
Prostą \( q \) wyznaczają punkty \( K=[6;6;7] \) i \( L=[4;0;2] \) (patrz rysunek). Wyznacz równania parametryczne prostej \( q' \) symetrycznej do prostej \( q \) w symetrii płaszczyzny w poprzek współrzędnej \( xz \)-płaszczyźnie.
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

2010008704

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi \( 3 \) jest umieszczony w układzie współrzędnych (patrz rysunek). Wyznacz odległość między równoległymi płaszczyznami \( \rho \) i \( \sigma\), gdzie \( \rho \) przechodzi przez \( D \), \( E \) i \( G \) i \( \sigma \) przechodzi przez \( A \), \( C \) i \( F \).
\( |\rho\sigma|=\sqrt3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{4\sqrt3}3 \)

2010008705

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi \( 4 \) jednostek jest umieszczany w układzie współrzędnych (patrz rysunek). Znajdź odległość prostych równoległych \( p=PQ\) i \( r=RS \), gdzie punkty \( P \), \( Q \), \( R\) i \( S \) są punktami środkowymi krawędzi odpowiednio \(BF\), \(BC\), \(EH\) i \(DH\).
\( |pr|=2\sqrt6 \)
\( |pr|=4\sqrt3 \)
\( |pr|=6\sqrt2 \)
\( |pr|=4\sqrt2 \)

2010008706

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi \( 4 \) jednostek jest umieszczony w układzie współrzędnych (patrz rysunek). Wyznacz kąt \( \psi \) między płaszczyzną \( \rho \) przechodzącą przez punkty \( B \), \( D \) i \( H \) a prostą \( CF \). Wskazówka: Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między prostą a jej prostopadłym rzutem na tę płaszczyznę.
\( \psi = \frac{\pi}6 \)
\( \psi = \frac{\pi}{12} \)
\( \psi = \frac{\pi}4 \)
\( \psi = \frac{\pi}3 \)