C

2000010804

Část: 
C
Aby dané těleso mohlo rovnoměrně zrychlovat, musí motor konat práci, která závisí na době pohybu vztahem \[ W=3t^2, \] kde práce \(W\) je udávána v joulech a čas \(t\) v sekundách. Určete okamžitý výkon motoru v čase \(t=4\,\mathrm{s}\). (Nápověda: Okamžitý výkon \(P\) můžeme určit pomocí derivace funkce \(W(t)\) tj. \(P(t)=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\).)
\( 24 \,\mathrm{W}\)
\( 48 \,\mathrm{W}\)
\( 8 \,\mathrm{W}\)
\( 12 \,\mathrm{W}\)

2000010803

Část: 
C
Na obrázku je graf závislosti dráhy na čase pohybujícího se tělesa (černá barva). V čase \(t=10\) sekund je sestrojena tečna ke grafu (červená barva). Pomocí obrázku určete rychlost tělesa v čase \(t=10\ \mathrm{s}\). (Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce dráhy, tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 2 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 0{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 1 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

2000010802

Část: 
C
Pohyb tělesa, které se pohybuje nerovnoměrným pohybem je popsán rovnicí \[ s=t^3-t^2+\frac12 t, \] kde čas \(t\) je měřen v sekundách a dráha \(s\) je měřena v metrech. Určete velikost okamžitého zrychlení tohoto tělesa na konci druhé sekundy jeho pohybu. (Nápověda: Okamžité zrychlení \(a\) můžeme určit pomocí derivace funkce rychlosti \(v(t)\). Protože rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), můžeme zrychlení určit pomocí její druhé derivace: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).)
\( 10 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 10{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 8{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

2000010801

Část: 
C
Pohyb tělesa, které se pohybuje nerovnoměrným pohybem je popsán rovnicí \[ s=12t-\frac12 t^2, \] kde čas \(t\) je měřen v sekundách a dráha \(s\) je měřena v metrech. Určete velikost okamžité rychlosti, kterou se bude těleso pohybovat na konci osmé sekundy. (Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce dráhy, tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 4 \,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 64\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
V tom čase už bude těleso stát (\( v=0\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)).

2000010605

Část: 
C
Pacient si vzal \(50\ \mathrm{mg}\) jistého léku. V průběhu \(3\) hodin z těla vyloučil \(40\,\%\) tohoto množství. Množství \(m\) (v mg) léku, které zbude v těle po uplynutí doby \(t\) (v hodinách) lze vyjádřit rovnicí \(m(t)=m_0a^t\), kde \(m_0\) (mg) je původní množství léku a \(a\) je konstanta. Vypočtěte, jaké množství léku zůstalo pacientovi v těle po \(12\) hodinách.
\(6{,}48\ \mathrm{mg}\)
\(1{,}28\ \mathrm{mg}\)
\(4{,}8\ \mathrm{mg}\)

2000010604

Část: 
C
Z původních \(320\ \mathrm{mg}\) radioaktivního prvku zůstalo po \(20\) dnech \(10\ \mathrm{mg}\). Vypočtěte poločas rozpadu \(T\) (ve dnech) tohoto prvku, pokud víte, že závislost hmotnosti \(m\) (v mg) na čase \(t\) (ve dnech) je dána rovnicí \(m(t)=m_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{T}}\), kde \(m_0\) (mg) je původní hmotnost.
\(T=4\)
\( T=32\)
\( T=16\)

2000010601

Část: 
C
Graf funkce \(f(x)=a^x+b~\) ( \(a>0\), \(a\neq1\) ) byl posunut o \(4\) jednotky doprava a o \(2\) jednotky dolů. Posunutý graf protíná osu \(x\) v bodě \([4;0]\) a prochází bodem \([8;3]\). Najděte \(a\) a \(b\) a vyřešte nerovnici \(f(x)\leq 5\).
\( a=\sqrt{2}\), \(b=1\), \( x \in ( -\infty;4\rangle\)
\( a=\sqrt[4]{3}\), \(b=2\), \( x \in ( -\infty;4\rangle\)
\( a=\sqrt{2}\), \(b=-4\), \( x \in ( -\infty;9\rangle\)