C

2000010804

Časť: 
C
Aby dané teleso mohlo rovnomerne zrýchľovať, musí motor vykonať prácu, ktorá je závislá na čase pohybu vzťahom \[ W=3t^2, \] kde práca \(W\) sa udáva v jouloch a čas \(t\) v sekundách. Určte okamžitý výkon motora v čase \(t=4\,\mathrm{s}\). (Pomôcka: Okamžitý výkon \(P\) môžeme určiť pomocou derivácie funkcie \(W(t)\) tj. \(P(t)=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\).)
\( 24 \,\mathrm{W}\)
\( 48 \,\mathrm{W}\)
\( 8 \,\mathrm{W}\)
\( 12 \,\mathrm{W}\)

2000010803

Časť: 
C
Na obrázku je graf závislosti dráhy na čase pohybujúceho sa telesa (čierna farba). V čase \(t=10\) sekúnd je zostrojená dotyčnica ku grafu (červená farba). Pomocou obrázku určte rýchlosť telesa v čase \(t=10\ \mathrm{s}\). (Pomôcka: Okamžitú rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkcie dráhy, tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 2 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 0{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 1 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

2000010802

Časť: 
C
Pohyb telesa, ktoré sa pohybuje nerovnomerným pohybom je popísaný rovnicou \[ s=t^3-t^2+\frac12 t, \] kde čas \(t\) je meraný v sekundách a dráha \(s\) je meraná v metroch. Určte veľkosť okamžitého zrýchlenia tohoto telesa na konci druhej sekundy jeho pohybu. (Pomôcka: Okamžité zrýchlenie \(a\) môžeme určiť pomocou derivácie funkcie rýchlosti \(v(t)\). Pretože rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), môžeme zrýchlenie určiť pomocou jej druhej derivácie: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).)
\( 10 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 10{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 8{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

2000010801

Časť: 
C
Pohyb telesa, ktoré sa pohybuje nerovnomerným pohybom je popísaný rovnicou \[ s=12t-\frac12 t^2, \] kde čas \(t\) je nameraný v sekundách a dráha \(s\) je nameraná v metroch. Určte veľkosť okamžitej rýchlosti, ktorou sa bude teleso pohybovať na konci \(8\) sekundy. (Pomôcka: Okamžitú rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkce: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 4 \,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 64\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
V tom čase už bude teleso stáť (\( v=0\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)).

2000010605

Časť: 
C
Pacient užil \(50\ \mathrm{mg}\) istého lieku. V priebehu \(3\) hodín vylúčil z tela \(40\%\) tohoto množstva. Množstvo \(m\) (v mg) lieku, ktoré zostane v tele po uplynutí času \(t\) (v hodinách) sa dá vyjadriť rovnicou \(m(t)=m_0a^t\), kde \(m_0\) (mg) je pôvodné množstvo lieku a \(a\) je konštanta. Vypočítajte, aké množstvo lieku zostalo v tele pacienta po \(12\) hodinách.
\(6{,}48\ \mathrm{mg}\)
\(1{,}28\ \mathrm{mg}\)
\(4{,}8\ \mathrm{mg}\)

2000010604

Časť: 
C
Z pôvodných \(320\ \mathrm{mg}\) rádioaktívneho prvku zostalo po \(20\) dňoch \(10\ \mathrm{mg}\). Vypočítajte polčas rozpadu \(T\) (v dňoch) tohto prvku, ak viete, že závislosť hmotnosti \(m\) (v mg) na čase \(t\) (v dňoch) je daná rovnicou \(m(t)=m_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{T}}\), kde \(m_0\) (mg) je pôvodná hmotnosť.
\(T=4\)
\( T=32\)
\( T=16\)

2000010601

Časť: 
C
Graf funkcie \(f(x)=a^x+b~\) ( \(a>0\), \(a\neq1\) ) bol posunutý o \(4\) jednotky doprava a o dve jednotky dole. Posunutý graf pretína os \(x\) v bode \([4;0]\) a prechádza cez bod \([8;3]\). Nájdite \(a\) a \(b\) a vyriešte nerovnosť \(f(x)\leq 5\).
\( a=\sqrt{2}\), \(b=1\), \( x \in ( -\infty;4\rangle\)
\( a=\sqrt[4]{3}\), \(b=2\), \( x \in ( -\infty;4\rangle\)
\( a=\sqrt{2}\), \(b=-4\), \( x \in ( -\infty;9\rangle\)