Geometria v priestore

1103212201

Časť: 
C
Priamka \( p \) je zadaná bodmi \( M=[4;2;0] \) a \( N=[6;6;7] \) (viď obrázok). Určte parametrické rovnice priamky \( p' \), ktorá je s priamkou \( p \) rovinovo súmerná podľa súradnicovej roviny \( (xy) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212202

Časť: 
C
Priamka \( p \) je zadaná bodmi \( M=[4;3;2] \) a \( N=[0;6;7] \) (viď obrázok). Určte parametrické rovnice priamky \( p' \) ktorá je súmerná s priamkou \( p \) v rovinovej súmernosti podľa súradnicovej roviny \( (yz) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212203

Časť: 
C
Priamka \( p \) je zadaná bodmi \( M=[4;3;2] \) a \( N=[8;0;5] \) (viď obrázok). Určte parametrické rovnice priamky \( p' \), ktorá je súmerná s priamkou \( p \) v rovinovej súmernosti podľa súradnicovej roviny \( (xz) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=0, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=-3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8-4t, \\ y&=3t, \\ z&=5-3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212204

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systému (viď obrázok). Bod \( M \) je stred hrany \( EF \). Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \rho \) prechádzajúcu bodmi \( B \), \( D \) a \( G \) a vypočítajte vzdialenosť bodu \( M \) od roviny \( \rho \).
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)

1103212205

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných rovín \( \alpha \) a \( \beta \), kde \( \alpha \) je určená bodmi \( B \), \( D \), \( G \) a \( \beta \) je určená bodmi \( A \), \( F \), \( H \).
\( |\alpha\beta|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{4\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}4 \)

1103212206

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Priamka \( p \) je priesečnica rovín \( \alpha \) a \( \beta \), kde \( \alpha \) je určená bodmi \( C \), \( F \), \( H \) a \( \beta \) je určená bodmi \( A \), \( F \), \( H \). Určte parametrické vyjadrenie priamky \( p \) a vypočítajte odchýlku \( \varphi \) rovín \( \alpha \) a \( \beta \) . Odchýlku \( \varphi \) zaokrúhlite na minúty.
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2t, & \varphi&\doteq 90^{\circ} \\ y&=2t, & & \\ z&=2+2t;\ t\in\mathbb{R}, \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 90^{\circ}\\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&= 2t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=2t, & & \\ z&=2t;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)

1103212901

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných priamok \( p=KL \) a \( q=MN \), kde body \( K \), \( L \), \( M \) a \( N \) sú po rade stredy hrán \( CD \), \( BC \), \( EH \) a \( EF \) .
\( |pq|=\sqrt6 \)
\( |pq|=2\sqrt3 \)
\( |pq|=3\sqrt2 \)
\( |pq|=2\sqrt2 \)

1103212902

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Bod \( S \) je stredom steny \( ABFE \) a body \( K \) a \( L \) sú po rade stredy hrán \( DH \) a \( CG \) . Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \) prechádzajúcimi bodmi \( A \), \( B \) a \( L \) a vypočítajte vzdialenosť bodu \( S \) od roviny \( \alpha \).
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)

1103212903

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Vypočítajte odchýlku \( \varphi \) priamky \( AF \) od roviny \( \alpha \) prechádzajúcej bodmi \( E \), \( D \) a \( C \). Nápoveda: Odchýlka priamky od roviny je odchýlka priamky od jej kolmého priemetu do tejto roviny.
\( \varphi = 30^{\circ} \)
\( \varphi = 15^{\circ} \)
\( \varphi = 45^{\circ} \)
\( \varphi = 60^{\circ} \)

1103212904

Časť: 
C
Pravidelný štvorboký ihlan \( ABCDV \) s dĺžkou hrany podstavy \( 6 \) a telesovou výškou \( 6 \) je umiestnený v súradnicovom systéme (viď obrázok). Bod \( S \) je stredom hrany \( AD \). Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \) prechádzajúcou bodmi \( B \), \( V \) a \( C \) a vypočítajte vzdialenosť bodu \( S \) od tejto roviny.
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)