Geometria v priestore

1103212905

Časť: 
C
Pravidelný štvorboký ihlan \( ABCDV \) s dĺžkou hrany podstavy \( 6 \) a telesovou výškou \( 6 \) je umiestený v súradnicovom systéme (viď obrázok). Určte parametrické vyjadrenie priesečnice \( p \) rovín \( \alpha \) a \( \beta \), kde \( \alpha \) je rovina prechádzajúce bodmi \( B \), \( C \) a \( V \) a \( \beta \) je rovina prechádzajúce bodmi \( A \), \( D \) a \( V \). Ďalej vypočítajte veľkosť odchýlky \( \varphi \) medzi rovinami \( \alpha \) a \( \beta \). Odchýlku \( \varphi \) zaokrúhlite na minúty.
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=0;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3+t, &\\ z&=6+2t;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)

1103233601

Časť: 
C
Nech $ABCDEFGH$ je kocka s dĺžkou hrany $1$ umiestnená v pravouhlon súradnicovo systéme. V kocke je zvýraznený pravidelný tetraéder $ACHF$ (viď obrázok). Vypočítajte jeho výšku.\[ \] Nápoveda: Nájdite napr. vzdialenosť medzi bodom $F$ a rovinou $ACH$.
$\frac{2\sqrt3}3$
$\frac{\sqrt3}3$
$\frac{2\sqrt6}3$
$\frac23$

1103233602

Časť: 
C
V kocke $ABCDEFGH$ s hranou dĺžky $1$, ktorá je umiestnená v súradnicovom systéme, je vyznačený pravidelný štvorsten $ACHF$ (viď obrázok). Vypočítajte vzdialenosť jeho protiľahlých hrán. \[ \] Nápoveda: Protiľahlé hrany štvorstena ležia na mimobežných priamkach. Ich vzdialenosť je rovná vzdialenosti stredu jednej hrany od hrany k nej protiľahlej.
$1$
$\sqrt3$
$\frac{\sqrt3}2$
$\frac{\sqrt5}2$

1103233603

Časť: 
C
V kocke $ABCDEFGH$ s hranou dĺžky $1$, ktorá je umiestnená v súradnicovom systéme, je vyznačený pravidelný štvorsten $ACHF$ (viď obrázok). Vypočítajte odchýlku jeho stien a zaokrúhlite ju na minúty.
$70^{\circ}32'$
$54^{\circ}44'$
$45^{\circ}$
$51^{\circ}4'$

2010008703

Časť: 
C
Priamka \( q \) je daná bodmi \( K=[6;6;7] \) a \( L=[4;0;2] \) (viďte obrázok). Určte parametrické rovnice priamky \( q' \), ktorá je s priamkou \( q \) súmerná podľa súradnicovej roviny \( xz \).
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

2010008704

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH\), s dĺžkou hrany \( 3 \) jednotky, je umiestnená v súradnicovej sústave (viďte obrázok). Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných rovín \( \rho \) a \( \sigma \), kde \( \rho \) je určená bodmi \( D \), \( E \), \( G \) a \( \sigma \) je určená bodmi \( A \), \( C \), \( F \).
\( |\rho\sigma|=\sqrt3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{4\sqrt3}3 \)

2010008705

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH\), s dĺžkou hrany \( 4 \) jednotky, je umiestnená v súradnicovej sústave (viďte obrázok). Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných priamok \( p=PQ\) a \( r=RS \), kde body \( P \), \( Q \), \( R\) a \( S \) sú po rade stredy hrán \(BF\), \(BC\), \(EH\) a \(DH\).
\( |pr|=2\sqrt6 \)
\( |pr|=4\sqrt3 \)
\( |pr|=6\sqrt2 \)
\( |pr|=4\sqrt2 \)

2010008706

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH\), s dĺžkou hrany \( 4 \) jednotky, je umiestnená v súradnicovej sústave (viďte obrázok). Vypočítajte odchýlku \( \psi \) priamky \( CF \) od roviny \( \rho \), prechádzajúcej bodmi \( B \), \( D \) a \( H \). Nápoveda: Odchýlka priamky od roviny je odchýlka priamky od jej kolmého priemetu do tejto roviny.
\( \psi = \frac{\pi}6 \)
\( \psi = \frac{\pi}{12} \)
\( \psi = \frac{\pi}4 \)
\( \psi = \frac{\pi}3 \)