Geometria analityczna w przestrzeni

1103188902

Część: 
A
Przyporządkuj płaszczyzny przedstawione na rysunku do odpowiednich równań ogólnych.
\( \alpha\colon y-2=0;\ \beta\colon z-2=0;\ \gamma\colon x-2=0 \)
\( \alpha\colon y+2=0;\ \beta\colon z+2=0;\ \gamma\colon x+2=0 \)
\( \alpha\colon x+z-2=0;\ \beta\colon x+y-2=0;\ \gamma\colon y+z-2=0 \)
\( \alpha\colon x-y+z-2=0;\ \beta\colon x+y-z-2=0;\ \gamma\colon -x+y+z-2=0 \)

1103212206

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi równej \( 2 \) jest umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Prosta \( p \) to prosta przecięcia płaszczyzn \( \alpha \) i \( \beta \), gdzie \( \alpha \) przechodzi przez \( C \), \( F \) i \( H \) a \( \beta \) przechodzi przez \( A \), \( F \) i \( H \). Wskaż równanie parametryczne prostej \( p \) i oblicz miarę kąta \( \varphi \) pomiędzy płaszczyznami \( \alpha \) i \( \beta \) . Zaokrągli \( \varphi \) do pełnych minut.
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2t, & \varphi&\doteq 90^{\circ} \\ y&=2t, & & \\ z&=2+2t;\ t\in\mathbb{R}, \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 90^{\circ}\\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&= 2t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=2t, & & \\ z&=2t;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)

1103212205

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o krawędzi równej \( 2 \) znajduje się w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Oblicz odległość pomiędzy równoległymi płaszczyznami \( \alpha \) i \( \beta \), gdzie \( \alpha \) przechodzi przez\( B \), \( D \) i \( G \) a \( \beta \) przechodzi przez \( A \), \( F \) i \( H \).
\( |\alpha\beta|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{4\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}4 \)

1103212204

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o krawędzi równej \( 2 \) znajduje się w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Punkt \( M \) to środek krawędzi \( EF \). Wskaż równanie ogólne płaszczyzny \( \rho \) przechodzącej przez punkty \( B \), \( D \), i \( G \) oraz oblicz odległość punktu \( M \) do płaszczyzny \( \rho \).
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)

1103212202

Część: 
C
Dana jest prosta \( p \) określona punktami \( M=[4;3;2] \) i \( N=[0;6;7] \) (spójrz na rysunek). Wskaż równanie parametryczne prostej \( p' \), która jest symetryczna do prostej \( p \) w płaszczyźnie symetrii w układzie współrzędnych \( yz \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212203

Część: 
C
Dana jest prosta \( p \) określona punktami \( M=[4;3;2] \) i \( N=[8;0;5] \) (spójrz na rysunek). Wskaż równanie parametryczne prostej \( p' \), która jest symetryczna do prostej \( p \) w płaszczyźnie symetrii w układzie współrzędnych\( xz \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=0, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=-3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8-4t, \\ y&=3t, \\ z&=5-3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212201

Część: 
C
Prosta \( p \) określona punktami \( M=[4;2;0] \) i \( N=[6;6;7] \) (spójrz na rysunek). Wskaż równanie parametryczne prostej \( p' \), która jest symetryczna do prostej \( p \) w płaszczyźnie symetrii w układzie współrzędnych \( xy \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003124006

Część: 
A
Wskaż wartość parametru\( a\in\mathbb{R} \) tak, aby punkt \( D=[-2;1;1] \)leżał na prostej \( p \) określonej równaniem parametrycznym \[\begin{aligned}p\colon x&=1+m,\\ y&=-2+m,\\ z&=a+m;\ m\in\mathbb{R}. \end{aligned}\]
taka wartość parametru \(a \) nie istnieje
\( a=-1 \)
\( a=0 \)
\( a = 1\)

1003124005

Część: 
A
Wskaż wartość parametru \( a\in\mathbb{R} \) tak, aby punkt \( C=[2;0;6] \) leżał na prostej \( p \) określonej równaniem parametrycznym \[\begin{aligned}p\colon x&=-1+m,\\ y&=a+m,\\ z&=3+m;\ m\in\mathbb{R}.\end{aligned}\]
\( a=-3 \)
\( a=0 \)
\( a=-1 \)
taka wartość parametru \(a \) nie istnieje