Geometria analityczna w przestrzeni

1003188907

Część: 
A
Dane są dwie przecinające się płaszczyzny \( x-6y+9z-4=0 \) and \( x-2y+3z-4=0 \). Wskaż równanie parametryczne prostej ich przecięcia \( p \).
\( \begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=\phantom{4+}\ 3t, \\ z&=\phantom{4+}\ 2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4+t, \\ y&=\phantom{4+}\ 3t, \\ z&=\phantom{4+}\ 2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=\frac32+3t, \\ z&=1+2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4+t, \\ y&=\frac32+3t, \\ z&=1+2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003188906

Część: 
A
Płaszczyzny \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) i \( \delta \) są określone równaniami ogólnymi: \[ \begin{aligned} &\alpha\colon \frac23x-4y+6z-\frac83=0; \\ &\beta\colon x-2y+3z-4=0; \\ &\gamma\colon 2x-12y+18z-4 =0; \\ &\delta\colon x-6y+9z-4 =0. \end{aligned} \] Z poniższych stwierdzeń, wybierz t nieprawdziwe.
\( \alpha \parallel\delta\text{, }\alpha\neq\delta \)
Płaszczyzny \( \beta \) i \( \delta \) przecinają się.
\( \gamma\parallel\delta\text{, }\gamma\neq\delta \)
Płaszczyzny \( \alpha \) i \( \beta \) przecinają się.
\( \alpha = \delta \)

1003188905

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzny \( \rho \) o równaniu ogólnym \( 5x-4y+z-4=0 \) i prostej \( p \) określonej równaniem parametrycznym: \[ \begin{aligned} x&=-1+t,\\ y&=2-2t,\\ z&=3+t;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p \) przecina\( \rho \)
\( p\parallel \rho\text{, } p\not{\!\!\subset}\rho \)
\( p \subset \rho \)

1003188904

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzny \( \rho \) o równaniu ogólnym \( 7x-2y+z-2=0 \) i prostej \( p \) określonej równaniem parametrycznym: \[ \begin{aligned} x&=3+t, \\ y&=-5-2t, \\ z&=3-11t;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p\parallel \rho\text{, }p\not{\!\!\subset}\rho \)
\( p \subset \rho \)
\( p \) przecina płaszczyznę \( \rho \)

1003188903

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzny \( \rho \) i prostej \( p \) określonej równaniem parametrycznym \( 2x-y+z-2=0 \) \[ \begin{aligned} x&=2-t, \\ y&=5-2t, \\ z&=3;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p \subset \rho \)
\( p\parallel\rho\text{, }p\not{\!\!\subset} \rho \)
\( p \) przecina płaszczyznę \( \rho \)

1103188902

Część: 
A
Przyporządkuj płaszczyzny przedstawione na rysunku do odpowiednich równań ogólnych.
\( \alpha\colon y-2=0;\ \beta\colon z-2=0;\ \gamma\colon x-2=0 \)
\( \alpha\colon y+2=0;\ \beta\colon z+2=0;\ \gamma\colon x+2=0 \)
\( \alpha\colon x+z-2=0;\ \beta\colon x+y-2=0;\ \gamma\colon y+z-2=0 \)
\( \alpha\colon x-y+z-2=0;\ \beta\colon x+y-z-2=0;\ \gamma\colon -x+y+z-2=0 \)

1103212206

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi równej \( 2 \) jest umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Prosta \( p \) to prosta przecięcia płaszczyzn \( \alpha \) i \( \beta \), gdzie \( \alpha \) przechodzi przez \( C \), \( F \) i \( H \) a \( \beta \) przechodzi przez \( A \), \( F \) i \( H \). Wskaż równanie parametryczne prostej \( p \) i oblicz miarę kąta \( \varphi \) pomiędzy płaszczyznami \( \alpha \) i \( \beta \) . Zaokrągli \( \varphi \) do pełnych minut.
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2t, & \varphi&\doteq 90^{\circ} \\ y&=2t, & & \\ z&=2+2t;\ t\in\mathbb{R}, \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 90^{\circ}\\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&= 2t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=2t, & & \\ z&=2t;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)

1103212205

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o krawędzi równej \( 2 \) znajduje się w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Oblicz odległość pomiędzy równoległymi płaszczyznami \( \alpha \) i \( \beta \), gdzie \( \alpha \) przechodzi przez\( B \), \( D \) i \( G \) a \( \beta \) przechodzi przez \( A \), \( F \) i \( H \).
\( |\alpha\beta|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{4\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}4 \)