Geometria analityczna w przestrzeni

1103212905

Część: 
C
Dany jest ostrosłup \( ABCDV \), którego podstawą jest prostokąt, długość krawędzi jest równa \( 6 \) jednostek a jego wysokość \( 6 \) jednostek. Ostrosłup jest umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Wyznacz równanie parametryczne prostej przecięcia \( p \) płaszczyzny \( \alpha \) i \( \beta \), gdzie \( \alpha \) przechodzi przez punkty \( B \), \( C \) i \( V \) oraz \( \beta \) przechodzi przez punkty \( A \), \( D \) i \( V \). Jaka jest miara kąta \( \varphi \) pomiędzy płaszczyznami \( \alpha \) i \( \beta \). Zaokrągli \( \varphi \) do pełnych minut.
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=0;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3+t, &\\ z&=6+2t;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)

1103212904

Część: 
C
Dany jest ostrosłup \( ABCDV \), którego podstawą jest prostokąt, długość podstawy jest równa \( 6 \) jednostek, jego wysokość jest równa \( 6 \) jednostek. Ostrosłup został umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Punkt \( S \) to środek krawędzi \( AD \). Wyznacz równanie płaszczyzny \( \alpha \) przechodzącej przez punkty \( B \), \( V \) i \( C \) oraz oblicz odległość punktu \( S \) od \( \alpha \).
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)

1103212903

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi równej \( 2 \) jednostki został umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Wyznacz kąt \( \varphi \) pomiędzy płaszczyzną \( \alpha \) przechodzącą przez punkty \( E \), \( D \) i \( C \) a prostą \( AF \). Wskazówka: Kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną to kąt pomiędzy prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę.
\( \varphi = 30^{\circ} \)
\( \varphi = 15^{\circ} \)
\( \varphi = 45^{\circ} \)
\( \varphi = 60^{\circ} \)

1103212902

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o krawędzi równej \( 2 \) jednostki jest umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). \( S \) to środek ściany \( ABFE \), \( K \) i \( L \) to środki krawędzi \( DH \) i \( CG \). Wskaż równanie płaszczyzny \( \alpha \) przechodzącej przez punkty \( A \), \( B \) i \( L \), oraz oblicz odległość punktu \( S \) od \( \alpha \).
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)

1103212901

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi równej \( 2 \) jednostki znajduje się w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Oblicz odległość pomiędzy prostymi równoległymi \( p=KL \) i \( q=MN \), gdzie punkty \( K \), \( L \), \( M \) i \( N \) to środki krawędzi \( CD \), \( BC \), \( EH \) i \( EF \).
\( |pq|=\sqrt6 \)
\( |pq|=2\sqrt3 \)
\( |pq|=3\sqrt2 \)
\( |pq|=2\sqrt2 \)

1003188803

Część: 
A
Płaszczyzna \( \rho \) jest określona punktem \( A=[3;1;1] \) i prostą \( p \) określoną równaniem parametrycznym:: \begin{align*} p\colon x&=4+4t, \\ y&=-1-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R} \end{align*} Wskaż równanie parametryczne płaszczyzny \( \rho \).
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+4t+s, \\ y&=-1-2t-2s, \\ z&=1+t;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+4t+3s, \\ y&=-1-2t+s, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=3+4t+4s, \\ y&=1-2t-s, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=3+4t-4s, \\ y&=1-2t+2s, \\ z&=1+t-s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003188802

Część: 
A
Wskaż brakujące współrzędne punktów \( M=[2;m;0] \) i \( N=[0;3;n] \) tak, aby leżały na płaszczyźnie \( \rho \) określonej równaniem parametrycznym: \begin{align*} \rho\colon x&=4+2s, \\ y&=-1-2t, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{align*} Wybierz opcję, w której wartość \( m \) i \( n \) są poprawne.
\( m=-1 \), \( n=-3 \)
\( m=-1 \), \( n=3 \)
\( m=1 \), \( n=-3 \)
\( m=1 \), \( n=3 \)