Geometria analityczna w przestrzeni

2010005006

Część: 
B
Znajdź kąt między prostą \(q\) i płaszczyzną \(\sigma \). \[ \sigma \colon 2x-z+4 = 0;\qquad \qquad \begin{aligned}[t] q\colon x& = 5r, & \\y & = -3+2r, \\z & = -2;\ r\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \] Zaokrąglij swoją odpowiedź do najbliższej minuty.
\(56^{\circ }09'\)
\(56^{\circ }08'\)
\(33^{\circ }51'\)
\(33^{\circ }52'\)

2010005005

Część: 
B
Dane są punkty \(C = [-2;3;-1]\), \(D= [1;2;-3]\), wyznacz kąt pomiędzy prostą \(CD\) i prostą \(p\). \[ \begin{aligned}p\colon x& = 2 -s, & \\y & = 3, \\z & = 2s;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \] Zaokrąglij do najbliższej minuty.
\(33^{\circ }13'\)
\(56^{\circ }47'\)
\(90^{\circ }\)
\(146^{\circ }47'\)

2010005003

Część: 
A
Znajdź wszystkie wartości rzeczywistego parametru \(p\) tak, że proste \(a\) oraz \(b\) są ukośne. \[ \begin{aligned}a\colon x& =- 1 + 2m, & \\y & = 1 - pm, \\z & = 2 - m;\ m\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}b\colon x& = 3+2n, & \\y & = 1-n, \\z & = 5+4n;\ n\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(p\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)
\(p = -1\)
Nie ma rozwiązania.
Proste są ukośne dla każdego rzeczywistego \(p\).

2010005001

Część: 
A
Określ, czy dwie proste $a$ i $b$ są pokrywające się, równoległe, przecinające się lub ukośne. \[\begin{aligned} a\colon x & = 3 -2m, & & \\y & = 4 - 3m, & & \\z & = 4+m;\ m\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\] \[\begin{aligned} b\colon x & = - n, & & \\y & = -5, & & \\z & = 4-3n;\ n\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\]
ukośne
pokrywające się
przecinające się
równoległe, nie pokrywające się

1003233607

Część: 
C
Określ wzajemne położenie trzech płaszczyzn: \begin{align*} \alpha\colon\ &2x+y+9z-18=0, \\ \beta\colon\ &x+3y+2z+16=0, \\ \gamma\colon\ &x+2y+3z+6=0. \end{align*}
Płaszczyzny $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ przecinają się na prostej.
Każda z dwóch płaszczyzn przecina się, a proste przecięcia to trzy różne proste równoległe do siebie.
Trzy płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie.

1003233605

Część: 
C
Dane są proste skośne $p$ i $q$. \begin{align*} p\colon x&= 1-t, & q\colon x&= 1-2s, \\ y&= 1+t, & y&=s, \\ z&= 3+2t;\ t\in\mathbb{R}, & z&= 3+3s;\ s\in\mathbb{R}. \end{align*} Wskaż równanie parametryczne prostej $r$, przecinającej obie proste $p$ i $q$ leżącej na płaszczyźnie $x+2y-z+2=0$.
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+2m, \\ y&=3-3m, \\ z&=7-4m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3+3m, \\ z&=7-m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+3m, \\ y&=3+2m, \\ z&=7+5m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3-m, \\ z&=7+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$