Geometria analityczna w przestrzeni

1103233603

Część: 
C
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$, którego krawędź jest równa $1$, sześcian umieszczono w układzie współrzędnych. W sześcianie podświetlono foremny czworościan $ACHF$ (spójrz na rysunek). Wskaż miarę kąta pomiędzy ścianami oraz zaokrągli wynik do pełnych minut.
$70^{\circ}32'$
$54^{\circ}44'$
$45^{\circ}$
$51^{\circ}4'$

1103233602

Część: 
C
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ długość jego krawędzi jest równa $1$, sześcian umieszczono w układzie współrzędnych. W sześcianie podświetlono czworościan foremny $ACHF$ (spójrz na rysunek). Oblicz odległość pomiędzy przeciwległymi krawędziami czworościanu. \[ \] Wskazówka: Przeciwległe krawędzie czworościanu leżą na prostych skośnych. Ich odległość jest taka sama jak odległość punktu środkowego jednej krawędzi do przeciwległej krawędzi.
$1$
$\sqrt3$
$\frac{\sqrt3}2$
$\frac{\sqrt5}2$

1103233601

Część: 
C
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ długość jego krawędzi jest równa $1$, sześcian umieszczono w układzie współrzędnych. W sześcianie podświetlono czworościan foremny $ACHF$ (spójrz na rysunek). Oblicz jego prostopadłą wysokość. \[ \] Wskazówka: Oblicz odległość pomiędzy punktem $F$ a płaszczyzną $ACH$.
$\frac{2\sqrt3}3$
$\frac{\sqrt3}3$
$\frac{2\sqrt6}3$
$\frac23$

1003189005

Część: 
B
Dana jest prosta \( p \) określona równaniem parametrycznym \begin{align*} x&=1+t, \\ y&= 1+2t, \\ z&= 4-t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Wskaż równanie parametryczne prostej \( p' \), która jest rzutem prostopadłym prostej \( p \) na płaszczyźnie w układzie współrzędnych \(xy\) .
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+s, \\ y&= 9+2s, \\ z&= 0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+s, \\ y&= 9-2s, \\ z&=0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=1+s, \\ y&=1+2s, \\ z&= 4;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+2s, \\ y&=9+s, \\ z&= 0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1103189004

Część: 
B
Dany jest punkt \( A=[2;-1;-4] \) oraz płaszczyzny \( \rho \) określona przez \( x-y+3z-5=0 \) i \( \sigma \) określona przez \( 2x-y-z-8=0 \). Wskaż równanie ogólne płaszczyzny \( \alpha \) przechodzącej przez punkt \( A \) oraz prostopadłej do obu płaszczyzn (spójrz na rysunek).
\( \alpha\colon 4x+7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon -2x+5y-3z-3=0 \)
\( \alpha\colon 4x-7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon 2x-5y+3z+3=0 \)

1103189003

Część: 
B
Wskaż równanie ogólne płaszczyzny \( \beta \) przechodzącej przez prostą \( p \) określoną równaniem parametrycznym \begin{align*} x&=1+2t, \\ y&=-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} oraz prostopadłą do płaszczyzny \( \alpha \) określoną przez \( x+3y-z-7=0 \) (spójrz na rysunek).
\( \beta\colon x-3y-8z+7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z-3=0 \)
\( \beta\colon x-3y-8z-7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z+3=0 \)

1103189002

Część: 
B
Wskaż równanie ogólne płaszczyzny \( \beta \) przechodzącej prze punkty \( M=[-1;1;-3] \) i \( N=[0;2;-1] \) oraz prostopadłej do płaszczyzny\( \alpha \) określonej przez \( 3x-y+2=0 \) (spójrz na rysunek).
\( \beta\colon x+3y-2z-8=0 \)
\( \beta\colon x+3z+10=0 \)
\( \beta\colon x+3z+3=0 \)
\( \beta\colon x+3y-2z+8=0 \)

1103189001

Część: 
B
Wskaż równanie ogólne płaszczyzny \( \alpha \) tak, aby była prostopadła do prostej \( p \) określonej przez: \begin{align*} x&=7+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} oraz przechodziła przez punkt \( A=[1;0;4] \). Wskaż również współrzędne punktu \( B \), który jest punktem przecięcia \( p \) oraz \( \alpha \) (spójrz na rysunek).
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3=0;\ B=[8;2;3] \)
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[8;2;3] \)