Geometria analityczna w przestrzeni

1103189004

Część: 
B
Dany jest punkt \( A=[2;-1;-4] \) oraz płaszczyzny \( \rho \) określona przez \( x-y+3z-5=0 \) i \( \sigma \) określona przez \( 2x-y-z-8=0 \). Wskaż równanie ogólne płaszczyzny \( \alpha \) przechodzącej przez punkt \( A \) oraz prostopadłej do obu płaszczyzn (spójrz na rysunek).
\( \alpha\colon 4x+7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon -2x+5y-3z-3=0 \)
\( \alpha\colon 4x-7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon 2x-5y+3z+3=0 \)

1103189003

Część: 
B
Wskaż równanie ogólne płaszczyzny \( \beta \) przechodzącej przez prostą \( p \) określoną równaniem parametrycznym \begin{align*} x&=1+2t, \\ y&=-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} oraz prostopadłą do płaszczyzny \( \alpha \) określoną przez \( x+3y-z-7=0 \) (spójrz na rysunek).
\( \beta\colon x-3y-8z+7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z-3=0 \)
\( \beta\colon x-3y-8z-7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z+3=0 \)

1103189002

Część: 
B
Wskaż równanie ogólne płaszczyzny \( \beta \) przechodzącej prze punkty \( M=[-1;1;-3] \) i \( N=[0;2;-1] \) oraz prostopadłej do płaszczyzny\( \alpha \) określonej przez \( 3x-y+2=0 \) (spójrz na rysunek).
\( \beta\colon x+3y-2z-8=0 \)
\( \beta\colon x+3z+10=0 \)
\( \beta\colon x+3z+3=0 \)
\( \beta\colon x+3y-2z+8=0 \)

1103189001

Część: 
B
Wskaż równanie ogólne płaszczyzny \( \alpha \) tak, aby była prostopadła do prostej \( p \) określonej przez: \begin{align*} x&=7+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} oraz przechodziła przez punkt \( A=[1;0;4] \). Wskaż również współrzędne punktu \( B \), który jest punktem przecięcia \( p \) oraz \( \alpha \) (spójrz na rysunek).
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3=0;\ B=[8;2;3] \)
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[8;2;3] \)

1003188907

Część: 
A
Dane są dwie przecinające się płaszczyzny \( x-6y+9z-4=0 \) and \( x-2y+3z-4=0 \). Wskaż równanie parametryczne prostej ich przecięcia \( p \).
\( \begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=\phantom{4+}\ 3t, \\ z&=\phantom{4+}\ 2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4+t, \\ y&=\phantom{4+}\ 3t, \\ z&=\phantom{4+}\ 2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=\frac32+3t, \\ z&=1+2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4+t, \\ y&=\frac32+3t, \\ z&=1+2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003188906

Część: 
A
Płaszczyzny \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) i \( \delta \) są określone równaniami ogólnymi: \[ \begin{aligned} &\alpha\colon \frac23x-4y+6z-\frac83=0; \\ &\beta\colon x-2y+3z-4=0; \\ &\gamma\colon 2x-12y+18z-4 =0; \\ &\delta\colon x-6y+9z-4 =0. \end{aligned} \] Z poniższych stwierdzeń, wybierz t nieprawdziwe.
\( \alpha \parallel\delta\text{, }\alpha\neq\delta \)
Płaszczyzny \( \beta \) i \( \delta \) przecinają się.
\( \gamma\parallel\delta\text{, }\gamma\neq\delta \)
Płaszczyzny \( \alpha \) i \( \beta \) przecinają się.
\( \alpha = \delta \)

1003188905

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzny \( \rho \) o równaniu ogólnym \( 5x-4y+z-4=0 \) i prostej \( p \) określonej równaniem parametrycznym: \[ \begin{aligned} x&=-1+t,\\ y&=2-2t,\\ z&=3+t;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p \) przecina\( \rho \)
\( p\parallel \rho\text{, } p\not{\!\!\subset}\rho \)
\( p \subset \rho \)

1003188904

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzny \( \rho \) o równaniu ogólnym \( 7x-2y+z-2=0 \) i prostej \( p \) określonej równaniem parametrycznym: \[ \begin{aligned} x&=3+t, \\ y&=-5-2t, \\ z&=3-11t;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p\parallel \rho\text{, }p\not{\!\!\subset}\rho \)
\( p \subset \rho \)
\( p \) przecina płaszczyznę \( \rho \)

1003188903

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzny \( \rho \) i prostej \( p \) określonej równaniem parametrycznym \( 2x-y+z-2=0 \) \[ \begin{aligned} x&=2-t, \\ y&=5-2t, \\ z&=3;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p \subset \rho \)
\( p\parallel\rho\text{, }p\not{\!\!\subset} \rho \)
\( p \) przecina płaszczyznę \( \rho \)