Geometria analityczna w przestrzeni

2010008707

Część: 
C
Niech \(ABCDEFGH\) będzie sześcianem o długości krawędzi \(2\) umieszczonym w prostokątnym układzie współrzędnych. W kostce zaznaczony jest czworościan foremny \(BDEG\) (patrz rysunek). Znajdź kąt między jego ścianami i zaokrąglij liczbę do najbliższej minuty.
\(70^{\circ}32'\)
\(45^{\circ}0'\)
\(51^{\circ}4'\)
\(54^{\circ}44'\)

2010008706

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi \( 4 \) jednostek jest umieszczony w układzie współrzędnych (patrz rysunek). Wyznacz kąt \( \psi \) między płaszczyzną \( \rho \) przechodzącą przez punkty \( B \), \( D \) i \( H \) a prostą \( CF \). Wskazówka: Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między prostą a jej prostopadłym rzutem na tę płaszczyznę.
\( \psi = \frac{\pi}6 \)
\( \psi = \frac{\pi}{12} \)
\( \psi = \frac{\pi}4 \)
\( \psi = \frac{\pi}3 \)

2010008705

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi \( 4 \) jednostek jest umieszczany w układzie współrzędnych (patrz rysunek). Znajdź odległość prostych równoległych \( p=PQ\) i \( r=RS \), gdzie punkty \( P \), \( Q \), \( R\) i \( S \) są punktami środkowymi krawędzi odpowiednio \(BF\), \(BC\), \(EH\) i \(DH\).
\( |pr|=2\sqrt6 \)
\( |pr|=4\sqrt3 \)
\( |pr|=6\sqrt2 \)
\( |pr|=4\sqrt2 \)

2010008704

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi \( 3 \) jest umieszczony w układzie współrzędnych (patrz rysunek). Wyznacz odległość między równoległymi płaszczyznami \( \rho \) i \( \sigma\), gdzie \( \rho \) przechodzi przez \( D \), \( E \) i \( G \) i \( \sigma \) przechodzi przez \( A \), \( C \) i \( F \).
\( |\rho\sigma|=\sqrt3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{4\sqrt3}3 \)

2010008703

Część: 
C
Prostą \( q \) wyznaczają punkty \( K=[6;6;7] \) i \( L=[4;0;2] \) (patrz rysunek). Wyznacz równania parametryczne prostej \( q' \) symetrycznej do prostej \( q \) w symetrii płaszczyzny w poprzek współrzędnej \( xz \)-płaszczyźnie.
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

2010008702

Część: 
B
Dany jest punkt \( P=[3;-4;-5] \) i płaszczyzny \( \alpha \): \( 2x-y-3z-5=0 \) oraz \( \beta \): \( 3x-2y-4z+3=0 \). Znajdź ogólną postać równania płaszczyzny \( \sigma \) przechodzącej przez punkt \( P \) i prostopadłej do obu płaszczyzn \(\alpha\) i \(\beta\) (patrz rysunek).
\( \sigma\colon 2x+y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y-z+15=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y+z-5=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-z-7=0 \)

2010008701

Część: 
B
Dane są punkty \(K = [ 1; −2; 1]\), \(L = [2; 0; −3]\) oraz płaszczyzna \(\rho\): \(x-2z+ 3=0\). Znajdź ogólną postać równania płaszczyzny \(\sigma\), w której leży prosta \(KL\) i jest prostopadła do płaszczyzny \(\rho\) (patrz rysunek).
\( \sigma\colon 2x+y+z-1=0 \)
\( \sigma\colon 2x+3y+2z+2=0 \)
\( \sigma\colon 2y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-4=0 \)