Geometria analityczna w przestrzeni

2010008704

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi \( 3 \) jest umieszczony w układzie współrzędnych (patrz rysunek). Wyznacz odległość między równoległymi płaszczyznami \( \rho \) i \( \sigma\), gdzie \( \rho \) przechodzi przez \( D \), \( E \) i \( G \) i \( \sigma \) przechodzi przez \( A \), \( C \) i \( F \).
\( |\rho\sigma|=\sqrt3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{4\sqrt3}3 \)

2010008703

Część: 
C
Prostą \( q \) wyznaczają punkty \( K=[6;6;7] \) i \( L=[4;0;2] \) (patrz rysunek). Wyznacz równania parametryczne prostej \( q' \) symetrycznej do prostej \( q \) w symetrii płaszczyzny w poprzek współrzędnej \( xz \)-płaszczyźnie.
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

2010008702

Część: 
B
Dany jest punkt \( P=[3;-4;-5] \) i płaszczyzny \( \alpha \): \( 2x-y-3z-5=0 \) oraz \( \beta \): \( 3x-2y-4z+3=0 \). Znajdź ogólną postać równania płaszczyzny \( \sigma \) przechodzącej przez punkt \( P \) i prostopadłej do obu płaszczyzn \(\alpha\) i \(\beta\) (patrz rysunek).
\( \sigma\colon 2x+y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y-z+15=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y+z-5=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-z-7=0 \)

2010008701

Część: 
B
Dane są punkty \(K = [ 1; −2; 1]\), \(L = [2; 0; −3]\) oraz płaszczyzna \(\rho\): \(x-2z+ 3=0\). Znajdź ogólną postać równania płaszczyzny \(\sigma\), w której leży prosta \(KL\) i jest prostopadła do płaszczyzny \(\rho\) (patrz rysunek).
\( \sigma\colon 2x+y+z-1=0 \)
\( \sigma\colon 2x+3y+2z+2=0 \)
\( \sigma\colon 2y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-4=0 \)

2010008908

Część: 
C
Dane są ukośne $a$ i $b$. \begin{align*} a\colon x&= -1-2t, & b\colon x&= 1-3s, \\ y&= -2+3t, & y&=2s, \\ z&= -4+2t;\ t\in\mathbb{R}, & z&= 2-2s;\ s\in\mathbb{R}. \end{align*} Znajdź równania parametryczne prostej $p$, przecinającej obie proste $a$ i $b$ i leżącej w płaszczyźnie $2x+3y-z-8=0$.
$\begin{aligned} p\colon x&=-9+r, \\ y&=10+r, \\ z&=4+5r;\ r\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=-9-2r, \\ y&=10-2r, \\ z&=4+10r;\ r\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=-9-10r, \\ y&=10+9r, \\ z&=4-r;\ r\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=-9+2r, \\ y&=10+2r, \\ z&=4-2r;\ r\in\mathbb{R} \end{aligned}$

2010008906

Część: 
A
Dane są dwie płaszczyzny przecinające się \(2x - 3y + 5z - 9 = 0\) i \(3x - y + 2z - 1 = 0\). Znajdź równania parametryczne ich linii przecięcia \(p\).
\( \begin{aligned} p\colon x&=-1-t, \\ y&=-2+ 11t, \\ z&=1+ 7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=-1-11t, \\ y&=-2+ 11t, \\ z&=1+ 7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=-1+t, \\ y&=-2+ 11t, \\ z&=1- 11t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=-1-11t, \\ y&=-2+ 11t, \\ z&=1- 11t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

2010008905

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzny \( \sigma \) zadanej równaniem ogólnym \( x-2y+3z-1=0 \) i prostej \( p \) zadanej równaniami parametrycznymi: \[ \begin{aligned} x&=4, \\ y&=5+3t, \\ z&=2+2t;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p\parallel\sigma,\ p\not{\!\!\subset} \sigma \)
\( p \subset \sigma \)
\( p \) przecina płaszczyznę \( \sigma \)

2010008904

Część: 
A
Dane są punkty \( K=[4;0;3] \), \( L=[1;-3;2] \) i \( M=[2;2;0] \). Z poniższej listy wybierz równania parametryczne reprezentujące płaszczyznę \( \sigma \) określoną punktami \( K \), \( L \) i \( M \).
$\begin{aligned} \sigma\colon x&=1+3r+s, \\ y&=-3+3r+5s, \\ z&=2+r-2s;\ r,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \sigma\colon x&=1-3r-s, \\ y&=-3+3r-5s, \\ z&=2+r+2s;\ r,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \sigma\colon x&=1-3r+s, \\ y&=-3-3r+5s, \\ z&=2+r-2s;\ r,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \sigma\colon x&=1+3r+s, \\ y&=-3+3r-5s, \\ z&=2-r+2s;\ r,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$