Geometria analityczna w przestrzeni

1003124004

Część: 
A
Wskaż wartość parametru \( a\in\mathbb{R} \) tak, aby punkt \( B=[1;4;5] \) leżał na prostej \( p \) określonej równaniem parametryczny \[\begin{aligned} p\colon x&=-1+m,\\ y&=2+am,\\ z&=3+m;\ m\in\mathbb{R}. \end{aligned}\]
\( a=1 \)
\( a=-1 \)
\( a=2 \)
wartość parametru \( a \) nie istnieje

1003124003

Część: 
A
Wskaż brakujące współrzędne punktu \( B=[x_B; y_B;-3] \) lezącego na prostej \( p \) określonej równaniem parametrycznym \[\begin{aligned}p\colon x&=-1+\frac14m,\\ y&=2+m,\\ z&=5-m;\ m\in\mathbb{R}.\end{aligned} \]
\( B=[1;10;-3] \)
\( B=[-3;-6;-3] \)
\( B=[1;3;-3] \)
\( B=[-3;6;-3] \)

1003124002

Część: 
A
Wybierz równanie parametryczne prostej \( p \) przechodzącej przez punkty \( A=[-2;0;1] \) i \( B=[2;0;-3] \).
\( \begin{aligned} p\colon x&=2-t, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2+4t, \\ y&=0, \\ z&=-3+4t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2-2t, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003124001

Część: 
A
Dana jest prosta \( q=\left\{[3t;2-2t;1+t]\text{, }t\in\mathbb{R}\right\} \) oraz cztery punkty \( A=[-6;6;-1] \), \( B=[-3;0;0] \), \( C=[0;2;1] \) i \( D=[3;0;2] \). Z podanych punktów wybierz wszystkie punkty leżące na prostej \( q \). (Wybierz właściwą opcje)
\( A \), \( C \), \( D \)
\( B \), \( C \), \( D \)
\( B \), \( C \)
\( A \), \( B \), \( C \)

1103212905

Część: 
C
Dany jest ostrosłup \( ABCDV \), którego podstawą jest prostokąt, długość krawędzi jest równa \( 6 \) jednostek a jego wysokość \( 6 \) jednostek. Ostrosłup jest umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Wyznacz równanie parametryczne prostej przecięcia \( p \) płaszczyzny \( \alpha \) i \( \beta \), gdzie \( \alpha \) przechodzi przez punkty \( B \), \( C \) i \( V \) oraz \( \beta \) przechodzi przez punkty \( A \), \( D \) i \( V \). Jaka jest miara kąta \( \varphi \) pomiędzy płaszczyznami \( \alpha \) i \( \beta \). Zaokrągli \( \varphi \) do pełnych minut.
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=0;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3+t, &\\ z&=6+2t;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)

1103212904

Część: 
C
Dany jest ostrosłup \( ABCDV \), którego podstawą jest prostokąt, długość podstawy jest równa \( 6 \) jednostek, jego wysokość jest równa \( 6 \) jednostek. Ostrosłup został umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Punkt \( S \) to środek krawędzi \( AD \). Wyznacz równanie płaszczyzny \( \alpha \) przechodzącej przez punkty \( B \), \( V \) i \( C \) oraz oblicz odległość punktu \( S \) od \( \alpha \).
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)

1103212903

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi równej \( 2 \) jednostki został umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Wyznacz kąt \( \varphi \) pomiędzy płaszczyzną \( \alpha \) przechodzącą przez punkty \( E \), \( D \) i \( C \) a prostą \( AF \). Wskazówka: Kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną to kąt pomiędzy prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę.
\( \varphi = 30^{\circ} \)
\( \varphi = 15^{\circ} \)
\( \varphi = 45^{\circ} \)
\( \varphi = 60^{\circ} \)

1103212902

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o krawędzi równej \( 2 \) jednostki jest umieszczony w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). \( S \) to środek ściany \( ABFE \), \( K \) i \( L \) to środki krawędzi \( DH \) i \( CG \). Wskaż równanie płaszczyzny \( \alpha \) przechodzącej przez punkty \( A \), \( B \) i \( L \), oraz oblicz odległość punktu \( S \) od \( \alpha \).
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)

1103212901

Część: 
C
Sześcian \( ABCDEFGH \) o długości krawędzi równej \( 2 \) jednostki znajduje się w układzie współrzędnych (spójrz na rysunek). Oblicz odległość pomiędzy prostymi równoległymi \( p=KL \) i \( q=MN \), gdzie punkty \( K \), \( L \), \( M \) i \( N \) to środki krawędzi \( CD \), \( BC \), \( EH \) i \( EF \).
\( |pq|=\sqrt6 \)
\( |pq|=2\sqrt3 \)
\( |pq|=3\sqrt2 \)
\( |pq|=2\sqrt2 \)