Geometria analityczna w przestrzeni

2010008903

Część: 
A
Dane są punkty \( P=[3;-4;1] \) i \( Q=[-1;3;6] \). Określ, które z poniższych równań parametrycznych definiuje promień \( QP\).
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=-1-4t, \\ y&=3+7t, \\ z&=6+5t;\ t\in (-\infty;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=3-4t, \\ y&=-4+7t, \\ z&=1+5t;\ t\in\langle -1;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=3+4t, \\ y&=-4-7t, \\ z&=1-5t;\ t\in\langle 0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=-1+4t, \\ y&=3-7t, \\ z&=6-5t;\ t\in (-\infty;1\rangle \end{aligned}$

2010008902

Część: 
A
Podane punkty \( A=[-2;5;1] \) i \( B=[3;-1;2] \), określ, które z poniższych równań parametrycznych definiuje promień \( AB \).
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=3+5t, \\ y&=-1-6t, \\ z&=2+t;\ t\in \langle -1;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-2+5t, \\ y&=5-6t, \\ z&=1+t;\ t\in(-\infty;1\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=3-5t, \\ y&=-1+6t, \\ z&=2-t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-2-5t, \\ y&=5+6t, \\ z&=1-t;\ t\in \langle 0;\infty) \end{aligned}$

2010008901

Część: 
A
Dane są punkty \( K=[-3;1;5] \) i \( L=[1;-5;4] \), określ, które z poniższych równań parametrycznych nie definiuje promień \( KL \).
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3+4t, \\ y&=1-6t, \\ z&=5-t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3+4t, \\ y&=1-6t, \\ z&=5-t;\ t\in \langle 0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3-8t, \\ y&=1+12t, \\ z&=5+2t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3+8t, \\ y&=1-12t, \\ z&=5-2t;\ t\in \langle 0;\infty) \end{aligned}$

2010005008

Część: 
A
Określ, czy następujące płaszczyzny \(\alpha \) i \(\beta\) są równoległe, pokrywające się lub przecinają się. \[ \begin{aligned}[t] \alpha \colon &x = 1-m+2n, & \\&y =2m-n, \\&z = 2-m+n;\ m,n\in \mathbb{R}, \\ \end{aligned}\qquad \beta \colon x-y-3z+5 = 0 \]
pokrywające się
przecinające się
równoległe, nie pokrywajace się

2010005006

Część: 
B
Znajdź kąt między prostą \(q\) i płaszczyzną \(\sigma \). \[ \sigma \colon 2x-z+4 = 0;\qquad \qquad \begin{aligned}[t] q\colon x& = 5r, & \\y & = -3+2r, \\z & = -2;\ r\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \] Zaokrąglij swoją odpowiedź do najbliższej minuty.
\(56^{\circ }09'\)
\(56^{\circ }08'\)
\(33^{\circ }51'\)
\(33^{\circ }52'\)

2010005005

Część: 
B
Dane są punkty \(C = [-2;3;-1]\), \(D= [1;2;-3]\), wyznacz kąt pomiędzy prostą \(CD\) i prostą \(p\). \[ \begin{aligned}p\colon x& = 2 -s, & \\y & = 3, \\z & = 2s;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \] Zaokrąglij do najbliższej minuty.
\(33^{\circ }13'\)
\(56^{\circ }47'\)
\(90^{\circ }\)
\(146^{\circ }47'\)

2010005003

Część: 
A
Znajdź wszystkie wartości rzeczywistego parametru \(p\) tak, że proste \(a\) oraz \(b\) są ukośne. \[ \begin{aligned}a\colon x& =- 1 + 2m, & \\y & = 1 - pm, \\z & = 2 - m;\ m\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}b\colon x& = 3+2n, & \\y & = 1-n, \\z & = 5+4n;\ n\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(p\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)
\(p = -1\)
Nie ma rozwiązania.
Proste są ukośne dla każdego rzeczywistego \(p\).

2010005001

Część: 
A
Określ, czy dwie proste $a$ i $b$ są pokrywające się, równoległe, przecinające się lub ukośne. \[\begin{aligned} a\colon x & = 3 -2m, & & \\y & = 4 - 3m, & & \\z & = 4+m;\ m\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\] \[\begin{aligned} b\colon x & = - n, & & \\y & = -5, & & \\z & = 4-3n;\ n\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\]
ukośne
pokrywające się
przecinające się
równoległe, nie pokrywające się