Geometria analityczna w przestrzeni

1003164403

Część: 
A
Dana jest prosta \( p \) określona równaniem parametrycznym: \begin{align*} x&=-1+t, \\ y&=2+3t, \\ z&=5-t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Wskaż współrzędne punktu \( M \), który jest punktem przecięcia prostej \( p \) z płaszczyzną w układzie współrzędnych \( yz \).
\( M=[0;5;4] \)
\( M=[-1;0;0] \)
\( M=[0;3;-1] \)
\( M=[1;0;0] \)

1003164402

Część: 
A
Dana jest prosta \( p \) określona równaniem parametrycznym: \begin{align*} x&=-1+2t, \\ y&=2+t, \\ z&=5-t,\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Wskaż współrzędne punktu \( M \), który jest punktem przecięcia prostej \( p \) z płaszczyzną w układzie współrzędnych \( xz \).
\( M=[-5;0;7] \)
\( M=[0;2;0] \)
\( M=[-1;0;5] \)
\( M=[2;0;-1] \)

1003164401

Część: 
A
Dana jest prosta \( p \) określona równaniem parametrycznym: \begin{align*} x&=-1+2t, \\ y&=2+t, \\ z&=5-t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Wskaż współrzędne punktu \( M \), który jest punktem przecięcia prostej \( p \) z płaszczyzną w układzie współrzędnych \( xy \).
\( M=[9;7;0] \)
\( M=[0;0;5] \)
\( M=[-1;2;0] \)
\( M=[0;0;-1] \)

9000117408

Część: 
B
Wskaż płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny \(\rho \). \[\begin{aligned} \rho \colon 2x - 3y + 7z - 2 = 0 & & \end{aligned}\]
\(\omega \colon x + 3y + z + 7 = 0\)
\(\tau \colon - 2x + 3y - 7z + 2 = 0\)
\(\nu \colon - 2x - 3y + 7z + 2 = 0\)
\(\sigma \colon 7x - 3y + 2z - 2 = 0\)

9000117409

Część: 
B
Wskaż płaszczyznę równoległą do \(\rho \) i przechodzącą przez punkt \(M\). \[\begin{aligned} \rho \colon x - 2y + 5z - 3 = 0,\qquad M = [3;-1;1] & & \end{aligned}\]
\(\tau \colon x - 2y + 5z - 10 = 0\)
\(\sigma \colon 3x - y + z - 3 = 0\)
\(\nu \colon x - 2y + 5z + 1 = 0\)
\(\omega \colon 3x - y + z - 11 = 0\)

9000117410

Część: 
B
Określ wartość rzeczywistą parametrów \(p\) i \(q\) tak, aby \(\rho \) i \(\sigma \) były płaszczyznami równoległymi, nie pokrywającymi się. \[\begin{aligned} \rho \colon 2x - 3y + 5z + 6 = 0,\qquad \sigma \colon 4x + py + qz - 2 = 0 & & \end{aligned}\]
\(p = -6;\ q = 10\)
\(p = 6;\ q = 10\)
\(p = 6;\ q = -10\)
\(p = -6;\ q = -10\)

9000117403

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzn \(\rho \) i \(\sigma \). \[ \begin{aligned}[t] \rho \colon &x = -u + v, & \\&y = u + 2v, \\&z = -u - v;\ u,v\in \mathbb{R}, \\ \end{aligned}\qquad \sigma \colon x-2y-3z+1 = 0 \]
równoległe, nie pokrywające się
pokrywające się
przecinające się

9000117401

Część: 
B
Określ część wspólną przecięcia płaszczyzn \(\rho \) i \(\sigma \). \[\begin{aligned} \rho \colon 2x - 5y + 4z - 10 = 0,\qquad \sigma \colon x - y - z - 2 = 0 & & \end{aligned}\]
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = 3t, & \\y & = -2 + 2t, \\z & = t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 2s - 10,& \\y & = 5s - 10, \\z & = s;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] a\colon x& = 2u - 4,& \\y & = 2u - 4, \\z & = u;\ u\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] b\colon x& = 3v + 1,& \\y & = v - 2, \\z & = v;\ v\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000117402

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzn \(\rho \) i \(\sigma \). \[ \begin{aligned}[t] \rho \colon &x = 2 + u - v, & \\&y = 1 + 2u + 4v, \\&z = -1 + 3u + 3v;\ u,v\in \mathbb{R}, \\ \end{aligned}\qquad \begin{aligned}[t] \sigma \colon &x = 2 + r - s, & \\&y = 7 + 2r + 4s, \\&z = 5 + 3r + 3s;\ s,t\in \mathbb{R}. \\ \end{aligned} \]
pokrywające się
równoległe, nie pokrywające się
przecinające się

9000117404

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzn \[\begin{aligned} \rho \colon \frac{3} {8}x + \frac{1} {2}y -\frac{2} {3}z - 1 = 0,\qquad \sigma \colon \frac{3} {4}x + y -\frac{4} {3}z - 2 = 0 & & \end{aligned}\]
pokrywające się
równoległe, nie pokrywające się
przecinające się