Geometria analityczna w przestrzeni

1003164406

Część: 
A
Określ czy proste \( p \), \( q \) lub \( r \) określone równaniami parametrycznymi przechodzą przez początek układu współrzędnych. \begin{align*} p\colon x&=-2+4t, & q\colon x&=-5-5s, & r\colon x&=3-6u, \\ y&=1-2t, & y&=2-2s, & y&=-\frac12+u, \\ z&=-3+3t;\ t\in\mathbb R & z&=5+5s;\ s\in \mathbb R & z&=2-4u;\ u\in \mathbb R \end{align*}
Tak, prosta \( r \).
Tak, prosta \( p \).
Tak, prosta \( q \).
Żadna z podanych prostych.

1003164404

Część: 
A
Dana jest prosta \( p \) określona równaniem parametrycznym: \begin{align*} x&=3+t, \\ y&=2-t, \\ z&=4;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Wskaż współrzędne punktu \( M \), który jest punktem przecięcia prostej \( p \) z płaszczyzną w układzie współrzędnych \( xy \).
Punkt \( M \) nie istnieje.
\( M=[0;0;4] \)
\( M=[-3;2;0] \)
\( M=[1;-1;0] \)

1003164403

Część: 
A
Dana jest prosta \( p \) określona równaniem parametrycznym: \begin{align*} x&=-1+t, \\ y&=2+3t, \\ z&=5-t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Wskaż współrzędne punktu \( M \), który jest punktem przecięcia prostej \( p \) z płaszczyzną w układzie współrzędnych \( yz \).
\( M=[0;5;4] \)
\( M=[-1;0;0] \)
\( M=[0;3;-1] \)
\( M=[1;0;0] \)

1003164402

Część: 
A
Dana jest prosta \( p \) określona równaniem parametrycznym: \begin{align*} x&=-1+2t, \\ y&=2+t, \\ z&=5-t,\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Wskaż współrzędne punktu \( M \), który jest punktem przecięcia prostej \( p \) z płaszczyzną w układzie współrzędnych \( xz \).
\( M=[-5;0;7] \)
\( M=[0;2;0] \)
\( M=[-1;0;5] \)
\( M=[2;0;-1] \)

1003164401

Część: 
A
Dana jest prosta \( p \) określona równaniem parametrycznym: \begin{align*} x&=-1+2t, \\ y&=2+t, \\ z&=5-t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Wskaż współrzędne punktu \( M \), który jest punktem przecięcia prostej \( p \) z płaszczyzną w układzie współrzędnych \( xy \).
\( M=[9;7;0] \)
\( M=[0;0;5] \)
\( M=[-1;2;0] \)
\( M=[0;0;-1] \)

9000117401

Część: 
B
Określ część wspólną przecięcia płaszczyzn \(\rho \) i \(\sigma \). \[\begin{aligned} \rho \colon 2x - 5y + 4z - 10 = 0,\qquad \sigma \colon x - y - z - 2 = 0 & & \end{aligned}\]
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = 3t, & \\y & = -2 + 2t, \\z & = t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 2s - 10,& \\y & = 5s - 10, \\z & = s;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] a\colon x& = 2u - 4,& \\y & = 2u - 4, \\z & = u;\ u\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] b\colon x& = 3v + 1,& \\y & = v - 2, \\z & = v;\ v\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000117402

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzn \(\rho \) i \(\sigma \). \[ \begin{aligned}[t] \rho \colon &x = 2 + u - v, & \\&y = 1 + 2u + 4v, \\&z = -1 + 3u + 3v;\ u,v\in \mathbb{R}, \\ \end{aligned}\qquad \begin{aligned}[t] \sigma \colon &x = 2 + r - s, & \\&y = 7 + 2r + 4s, \\&z = 5 + 3r + 3s;\ s,t\in \mathbb{R}. \\ \end{aligned} \]
pokrywające się
równoległe, nie pokrywające się
przecinające się

9000117404

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzn \[\begin{aligned} \rho \colon \frac{3} {8}x + \frac{1} {2}y -\frac{2} {3}z - 1 = 0,\qquad \sigma \colon \frac{3} {4}x + y -\frac{4} {3}z - 2 = 0 & & \end{aligned}\]
pokrywające się
równoległe, nie pokrywające się
przecinające się