Geometria analityczna w przestrzeni

1003188801

Część: 
A
Dane są punkty \( A=[2;4;0] \), \( B=[4;-1;1] \) i \( C=[0;1;1] \). Wskaż równanie parametryczne płaszczyzny \( \rho \) określonej punktami \( A \), \( B \), i \( C \).
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+2t+2s, \\ y&=-1-t-5s, \\ z&=1+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+4t+2s, \\ y&=-1-2t-5s, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=2t+4s, \\ y&=1-t-2s, \\ z&=1;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=2t-2s, \\ y&=1-5t+5s, \\ z&=1+t-s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1103188706

Część: 
A
Dane są punkty \( A=[2;4;0] \) and \( B=[4;7;6] \). Wskaż równanie parametryczne prostej \( q \), która jest rzutem prostokątnym prostej \( AB \) na płaszczyźnie w układzie współrzędnych \( xy \).
$\begin{aligned} p\colon x&=4+2t, \\ y&=7+3t, \\ z&=0;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=2+4t, \\ y&=4+7t, \\ z&=6t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=4+2t, \\ y&=7+3t, \\ z&=6;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=2-2t, \\ y&=4-3t, \\ z&=-6t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1103188705

Część: 
A
Wskaż równanie parametryczne prostej \( p \) przechodzącej przez punkt \( K=[4;2;3] \), równoległej do płaszczyzny w układzie współrzędnych \( xy \), oraz przecinającą oś \( z \).
$\begin{aligned} p\colon x&=4+2t, \\ y&=2+t, \\ z&=3;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=4+2t, \\ y&=2+t, \\ z&=3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=2, \\ z&=3+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=4-2t, \\ y&=2-4t, \\ z&=3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003188704

Część: 
A
Dane są punkty \( A=[-4;1;4] \) i \( B=[4;-3;0] \), wskaż równanie parametryczne, które nie określa półprostej \( AB \).
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1-4t, \\ z&=4-4t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1-4t, \\ z&=4-4t;\ t\in\langle0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4+2t, \\ y&=1-t, \\ z&=4-t;\ t\in\langle0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4-8t, \\ y&=1+4t, \\ z&=4+4t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$

1003188703

Część: 
A
Dane są punkty \( A=[-4;1;4] \) i \( B=[4;-3;0] \), wskaż równanie parametryczne, które nie określa odcinka \( AB \).
$\begin{aligned} AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1+4t, \\ z&=4-4t;\ t\in\langle0;1\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1-4t, \\ z&=4-4t;\ t\in\langle0;1\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} AB\colon x&=4+8t, \\ y&=-3-4t, \\ z&=-4t;\ t\in\langle-1;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} AB\colon x&=-4+2t, \\ y&=1-t, \\ z&=4-t;\ t\in\langle0;4\rangle \end{aligned}$

1003188702

Część: 
A
Dane są punkty \( A=[-2;3;0] \), \( B=[6;1;6] \) i \( C=[1;0;4] \). Wskaż równanie parametryczne prostej \( p \) przechodzącej przez punkt \( C \) oraz środek odcinka \( AB \).
$\begin{aligned} p\colon x&=1+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=1+2t, \\ y&=-t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=1-t, \\ y&=2t, \\ z&=4+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=1+2t, \\ y&=t, \\ z&=4+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003164406

Część: 
A
Określ czy proste \( p \), \( q \) lub \( r \) określone równaniami parametrycznymi przechodzą przez początek układu współrzędnych. \begin{align*} p\colon x&=-2+4t, & q\colon x&=-5-5s, & r\colon x&=3-6u, \\ y&=1-2t, & y&=2-2s, & y&=-\frac12+u, \\ z&=-3+3t;\ t\in\mathbb R & z&=5+5s;\ s\in \mathbb R & z&=2-4u;\ u\in \mathbb R \end{align*}
Tak, prosta \( r \).
Tak, prosta \( p \).
Tak, prosta \( q \).
Żadna z podanych prostych.

1003164404

Część: 
A
Dana jest prosta \( p \) określona równaniem parametrycznym: \begin{align*} x&=3+t, \\ y&=2-t, \\ z&=4;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Wskaż współrzędne punktu \( M \), który jest punktem przecięcia prostej \( p \) z płaszczyzną w układzie współrzędnych \( xy \).
Punkt \( M \) nie istnieje.
\( M=[0;0;4] \)
\( M=[-3;2;0] \)
\( M=[1;-1;0] \)