Aplikácia určitého integrálu

9000100007

Časť: 
B
Na obrázku je graf funkcie \(f\colon y = \sqrt{x}\). Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou rovinného obrazca ohraničeného osou \(x\), grafom funkcie \(f\) na intervale \(\langle 1;\, 4\rangle \) a priamkami \(x = 1\), \(x = 4\) okolo osy \(x\).
\(\frac{15} {2} \pi \)
\(\frac{17} {2} \pi \)
\(\frac{17} {2} \pi ^{2}\)
\(\frac{15} {2} \pi ^{2}\)

9000100006

Časť: 
B
Na obrázku je graf funkcie \(f\colon y = \sqrt{x}\). Určte vzťah, podľa ktorého vypočítame objem telesa, ktoré vznikne rotáciou rovinného obrazca ohraničeného osou \(x\), grafom funkcie \(f\) na intervale \(\langle 1;\, 4\rangle \) a priamkami \(x = 1\), \(x = 4\) okolo osy \(x\).
\(V =\pi \int _{ 1}^{4}x\, \mathrm{d}x\)
\(V =\int _{ 1}^{4}x\, \mathrm{d}x\)
\(V =\pi \int _{ 1}^{4}\sqrt{x}\, \mathrm{d}x\)
\(V =\int _{ 1}^{4}\sqrt{x}\, \mathrm{d}x\)

9000100004

Časť: 
B
Na obrázku je graf funkcie \(f\colon y = x^{2} + 2\). Aké teleso vznikne rotáciou rovinného obrazca ohraničeného osou \(x\), osou \(y\), grafom funkcie \(f\) a priamkou \(x = -1\) okolo osy \(x\)?
Teleso rôzne od kužeľa a valca.
Kužeľ s polomerom podstavy \(1\).
Valec s polomerom podstavy \(2\).
Kužeľ s polomerom podstavy \(2\).

9000100005

Časť: 
B
Na obrázku je graf funkcie \(f\colon y = 1\). Určte teleso, ktorého objem vypočítame vzťahom \(\pi \int _{-1}^{1}f^{2}(x)\, \mathrm{d}x\).
Valec s polomerom podstavy \(1\) a výškou \(2\).
Kužeľ s polomerom podstavy \(1\) a výškou \(2\).
Kužeľ o polomerom podstavy \(2\) a výškou \(1\).
Valec s polomerom podstavy \(2\) a výškou \(1\).

9000100008

Časť: 
B
Na obrázku je časť grafu funkcie \(f\colon y = \frac{1} {x}\). Doplňte nasledujúcu vetu tak, aby vznikol pravdivý výrok: „Objem \(V =\pi \int _{ 1}^{2}x^{-2}\, \mathrm{d}x\) má teleso, ktoré vznikne rotáciou rovinného útvaru ohraničeného ...”
osou \(x\), grafom funkcie \(f\) na intervale \(\langle 1;\, 2\rangle \) a priamkami \(x = 1\), \(x = 2\) okolo osy \(x\).
osou \(y\), grafom funkcie \(f\) na intervale \(\langle 1;\, 2\rangle \) a priamkami \(y = 1\), \(y = \frac{1} {2}\) okolo osy \(x\).
osou \(x\), grafom funkcie \(f^{2}\) na intervale \(\langle 1;\, 2\rangle \) a priamkami \(x = 1\), \(x = 2\) okolo osy \(x\).
osou \(y\), grafom funkcie \(f^{2}\) na intervale \(\langle 1;\, 2\rangle \) a priamkami \(y = 1\), \(y = \frac{1} {2}\) okolo osy \(x\).

9000100002

Časť: 
B
Na obrázku je graf funkcie \(f\colon y = 3 - 2x\). Aký je objem telesa, ktoré vznikne rotáciou rovinného obrazca ohraničeného osou \(x\), grafom funkcie \(f\) a priamkami \(x = -1\) a \(x = 1\) okolo osy \(x\)?
\(\frac{62} {3} \pi \)
\(6\pi \)
\(12\pi \)
\(\frac{8} {3}\pi \)

9000100009

Časť: 
B
Na obrázku je časť grafu funkcie \(f\colon y = \frac{1} {x}\). Určte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou rovinného útvaru ohraničeného osou \(x\), grafom funkcie \(f\) a priamkami \(x = 1\) a \(x = 4\) okolo osy \(x\).
\(\frac{3} {4}\pi \)
\(\frac{5} {4}\pi \)
\(\frac{5} {3}\pi \)
\(\frac{4} {3}\pi \)

9000072907

Časť: 
C
Homogénna kocka s hranou \(10\, \mathrm{cm}\) a hustotou \(2\: 000\, \mathrm{kg\, m}^{-3}\) je ponorená do vody tak, že jej dolná stena je rovnobežná s voľnou hladinou vody a nachádza sa v hĺbke \(10\, \mathrm{cm}\). Vypočítajte prácu potrebnú k zdvihnutiu kocky do polohy, v ktorej bude jej spodná stena práve na voľnej hladine kvapaliny. Hustota vody je \(1\: 000\, \mathrm{kg\, m}^{-3}\) a tiažové zrýchlenie \(g = 10\, \mathrm{m\, s}^{-2}\).
\(1{,}5\, \mathrm{J}\)
\(2\, \mathrm{J}\)
\(1\, \mathrm{J}\)

9000072908

Časť: 
C
Kotva s hmotnosťou \(100\, \mathrm{kg}\) visí na kotevnom lane dĺžky \(20\, \mathrm{m}\). Jeden meter lana má hmotnosť \(1\, \mathrm{kg}\). Akú prácu vykonáme, ak zdvihneme kotvu o \(20\, \mathrm{m}\)? Tiažové zrýchlenie je \(9{,}81\, \mathrm{m\, s}^{-2}\). Vztlakovú silu neberieme do úvahy.
\(21\: 582\, \mathrm{J}\)
\(23\: 544\, \mathrm{J}\)
\(19\: 620\, \mathrm{J}\)

9000072902

Časť: 
C
Veľkosť okamžitej rýchlosti telesa je priamo úmerná druhej mocnine času. V čase \(2\, \mathrm{s}\) je rýchlosť práve \(6\, \mathrm{m\, s}^{-1}\). Akú dráhu urobí teleso za prvé \(4\, \mathrm{s}\)?
\(32\, \mathrm{m}\)
\(48\, \mathrm{m}\)
\(24\, \mathrm{m}\)