2010014302
Časť:
C
Vypočítajte obsah plochy „kosáku“ ohraničeného polovicou kružnice a polovicou elipsy (pozri obrázok). Body \(A\) a \(B\) ležia na kružnici a zároveň sú ohniská elipsy.
\(\frac{\pi}2(\sqrt{2}-1)\)
\(1{,}3\)
\(1{,}5\pi\)
\(0{,}3\)
Aplikácia určitého integrálu
2010014301
Časť:
C
Vypočítajte obsah plochy „kosáku“ ohraničeného polovicou kružnice a polovicou elipsy (pozri obrázok). Body \(A\) a \(B\) ležia na kružnici a zároveň sú ohniská elipsy.
\(2\pi(\sqrt{2}-1)\)
\(1{,}3\)
\(6\pi\)
\(5{,}2\)
2010012606
Časť:
B
Na obrázku je časť grafu funkcie \(f(x) = \frac{1} {x^2}\).
Určte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou rovinného útvaru ohraničeneho osou
\(x\), grafom funkcie \(f\) a priamkami \(x = 1\) a \(x = 2\) okolo osy \(x\).
\(\frac{7}
{24} \pi \)
\(\frac{\pi}
{2}\)
\(\frac{9}
{24} \pi \)
\(\frac{7}
{8} \pi \)
2010012605
Časť:
B
Na obrázku je časť grafu funkcie \(f(x) = \frac12 x +2\).
Určte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou rovinného útvaru ohraničeneho osou \(x\), grafom funkcie \(f\) a priamkami \(x = -2\) a \(x = 1\) okolo osy \(x\).
\(\frac{39}
{4} \pi \)
\(\frac{55}
{4} \pi \)
\(3\pi \)
\(\frac{10}
{3} \pi \)
2010012604
Časť:
C
Dve častice sa priťahujú gravitačnou silou, ktorá má veľkosť v newtnoch a popisuje ju funkcia \[
F(x) = \frac{c}
{x^{2}},
\]
kde \(x\) je vzdialenosť
častíc v metroch a \(c\) je nejaká kladná konštanta.
Akú prácu vykonáme pri premiestnení častíc zo vzdialenosti \(2\, \mathrm{m}\) do vzdialenosti \(5\, \mathrm{m}\) od seba?
\(\frac{3}
{10}c\, \mathrm{J}\)
\(\frac{2}
{5}c\, \mathrm{J}\)
\(c\, \mathrm{J}\)
2010012603
Časť:
C
Veľkosť okamžitej rýchlosti telesa je priamo úmerná tretej mocnine času.
V čase \(t = 3\, \mathrm{s}\) je rýchlosť práve \(v = 9\, \mathrm{m\, s}^{-1}\). Akú dráhu urobí teleso za prvých \(6\) sekúnd?
\(108\, \mathrm{m}\)
\(54\, \mathrm{m}\)
\(324\, \mathrm{m}\)
2010012602
Časť:
A
Určte obsah plochy ohraničenej krivkami
\(y = 2^{x}\),
\(y = 2^{-x}\) a
\(y = 4\).
\(16 -\frac{6}
{\ln 2}\)
\(16 -\frac{10}
{\ln 2}\)
\(8 -\frac{5}
{\ln 2}\)
\(16 +\frac{6}
{\ln 2}\)
2010012601
Časť:
A
Určte obsah plochy ohraničenej krivkami
\(y =\mathrm{e} ^{x}-1\),
\(y = -\mathrm{e}^{x} + 1\) a
\(x = 1\).
\(2\mathrm{e}-4 \)
\(2\mathrm{e}-2\)
\(2\)
\(4-2\mathrm{e} \)
2010011407
Časť:
A
Vypočítajte obsah plochy ohraničenej krivkami
\(y = x+1\) a
\(y = -x^{2} + 3\).
\( \frac{9}2\)
\(2\)
\(6\)
\( \frac{21}2\)
2010011406
Časť:
A
Určte obsah plochy ohraničenej grafom funkcie
\(f(x)=\sin x-1\),
\(D(f) =\left \langle \frac{\pi }{2};\pi \right \rangle \) a
priamkami \(y = 0\)
a \(x =\pi \).
\( \frac{\pi}2-1\)
\( \frac{\pi}2\)
\(1\)
\( \frac{3\pi}2-1\)