Aplicaciones de la integral definida

En un experimento, un gas ideal se expande adiabáticamente desde un volumen inicial $V_1=0.3{\mathrm{m}}^3$ hasta un volumen final $V_2=0.8{\mathrm{m}}^3$. Calcula el trabajo realizado por el gas durante el proceso. Pista: Un gas ideal durante un proceso adiabático se rige por la relación $p{V}^{1.4}=c$, siendo $p$ la presión del gas, $V$ el volumen, y $c$ una constante positiva. El trabajo $W$ realizado por el gas se define como $W={\int }_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V$.

La característica de tiempo de una corriente alterna $i$ viene dada en la imagen. Calcula el valor efectivo $I$ de la corriente $i$ sabiendo que se cumple la siguiente relación: $I^{2}T={\int }_0^T{i}^2\mathrm{d}t$.

La característica de tiempo de una señal $u$ viene dada en la imagen, donde $U_m$ es el máximo de $u$. Halla el valor efectivo $U$ de la señal $u$ sabiendo que se cumple la siguiente relación: $U^{2}T={\int }_0^T{u}^2\mathrm{d}t$.

Aproximadamente, la forma de Marte es un elipsoide. Este elipsoide puede obtenerse haciendo girar una elipse con semiejes $a=3396190\mathrm{m}$ y $b=3376200\mathrm{m}$ alrededor de su eje menor. ¿Cuál es el volumen $V$ de este elipsoide?