Derivace funkce

2000010805

Část:

Daný setrvačník se roztáčí tak, že úhel jeho otočení závisí na čase podle rovnice \[ \varphi = 4t^2, \] kde úhel otočení \(\varphi\) udáváme v radiánech a čas \(t\) v sekundách. Za jak dlouho se bude pohybovat úhlovou rychlostí \(36\,\frac{\mathrm{rad}}{s}\)? (Nápověda: Úhlovou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(\varphi(t)\), tj. \(\omega(t)=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\).)

\( 4{,}5 \,\mathrm{s}\)

\( 3\,\mathrm{s}\)

\( 288 \,\mathrm{s}\)

\( 9 \,\mathrm{s}\)

2000010804

Část:

Aby dané těleso mohlo rovnoměrně zrychlovat, musí motor konat práci, která závisí na době pohybu vztahem \[ W=3t^2, \] kde práce \(W\) je udávána v joulech a čas \(t\) v sekundách. Určete okamžitý výkon motoru v čase \(t=4\,\mathrm{s}\). (Nápověda: Okamžitý výkon \(P\) můžeme určit pomocí derivace funkce \(W(t)\) tj. \(P(t)=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\).)

\( 24 \,\mathrm{W}\)

\( 48 \,\mathrm{W}\)

\( 8 \,\mathrm{W}\)

\( 12 \,\mathrm{W}\)

2000010803

Část:

Na obrázku je graf závislosti dráhy na čase pohybujícího se tělesa (černá barva). V čase \(t=10\) sekund je sestrojena tečna ke grafu (červená barva). Pomocí obrázku určete rychlost tělesa v čase \(t=10\ \mathrm{s}\). (Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce dráhy, tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)

\( 2 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

\( 0{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

\( 1 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

\( 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

2000010802

Část:

Pohyb tělesa, které se pohybuje nerovnoměrným pohybem je popsán rovnicí \[ s=t^3-t^2+\frac12 t, \] kde čas \(t\) je měřen v sekundách a dráha \(s\) je měřena v metrech. Určete velikost okamžitého zrychlení tohoto tělesa na konci druhé sekundy jeho pohybu. (Nápověda: Okamžité zrychlení \(a\) můžeme určit pomocí derivace funkce rychlosti \(v(t)\). Protože rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), můžeme zrychlení určit pomocí její druhé derivace: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).)

\( 10 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

\( 10{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

\( 8{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

\( 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

2000010801

Část:

Pohyb tělesa, které se pohybuje nerovnoměrným pohybem je popsán rovnicí \[ s=12t-\frac12 t^2, \] kde čas \(t\) je měřen v sekundách a dráha \(s\) je měřena v metrech. Určete velikost okamžité rychlosti, kterou se bude těleso pohybovat na konci osmé sekundy. (Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce dráhy, tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)

\( 4 \,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)

\( 64\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)

\( 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)

V tom čase už bude těleso stát (\( v=0\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)).