Aplikace určitého integrálu

9000100004

Část: 
B
Na obrázku je graf funkce \(f\colon y = x^{2} + 2\). Jaké těleso vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného osou \(x\), osou \(y\), grafem funkce \(f\) a přímkou \(x = -1\) kolem osy \(x\)?
Těleso různé od kužele a válce.
Kužel s poloměrem podstavy \(1\).
Válec s poloměrem podstavy \(2\).
Kužel s poloměrem podstavy \(2\).

9000100005

Část: 
B
Na obrázku je graf funkce \(f\colon y = 1\). Určete těleso, jehož objem vypočítáme vztahem \(\pi \int _{-1}^{1}f^{2}(x)\, \mathrm{d}x\).
Válec o poloměru podstavy \(1\) a výšce \(2\).
Kužel o poloměru podstavy \(1\) a výšce \(2\).
Kužel o poloměru podstavy \(2\) a výšce \(1\).
Válec o poloměru podstavy \(2\) a výšce \(1\).

9000100008

Část: 
B
Na obrázku je část grafu funkce \(f\colon y = \frac{1} {x}\). Doplňte následující větu tak, aby vznikl pravdivý výrok: „Objem \(V =\pi \int _{ 1}^{2}x^{-2}\, \mathrm{d}x\) má těleso, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného ...”
osou \(x\), grafem funkce \(f\) na intervalu \(\langle 1;\, 2\rangle \) a přímkami \(x = 1\), \(x = 2\) kolem osy \(x\).
osou \(y\), grafem funkce \(f\) na intervalu \(\langle 1;\, 2\rangle \) a přímkami \(y = 1\), \(y = \frac{1} {2}\) kolem osy \(x\).
osou \(x\), grafem funkce \(f^{2}\) na intervalu \(\langle 1;\, 2\rangle \) a přímkami \(x = 1\), \(x = 2\) kolem osy \(x\).
osou \(y\), grafem funkce \(f^{2}\) na intervalu \(\langle 1;\, 2\rangle \) a přímkami \(y = 1\), \(y = \frac{1} {2}\) kolem osy \(x\).

9000100002

Část: 
B
Na obrázku je graf funkce \(f\colon y = 3 - 2x\). Jaký je objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného osou \(x\), grafem funkce \(f\) a přímkami \(x = -1\) a \(x = 1\) kolem osy \(x\)?
\(\frac{62} {3} \pi \)
\(6\pi \)
\(12\pi \)
\(\frac{8} {3}\pi \)

9000100009

Část: 
B
Na obrázku je část grafu funkce \(f\colon y = \frac{1} {x}\). Určete objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného osou \(x\), grafem funkce \(f\) a přímkami \(x = 1\) a \(x = 4\) kolem osy \(x\).
\(\frac{3} {4}\pi \)
\(\frac{5} {4}\pi \)
\(\frac{5} {3}\pi \)
\(\frac{4} {3}\pi \)

9000100001

Část: 
B
Na obrázku je graf funkce \(f\colon y = 3 - 2x\). Jaké těleso vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného osou \(x\), osou \(y\) a grafem funkce \(f\) na intervalu \(\langle 0;\, 1{,}5\rangle \) kolem osy \(y\)?
Kužel s poloměrem podstavy \(1{,}5\).
Kužel s poloměrem podstavy \(3\).
Jehlan s tělesovou výškou \(1{,}5\).
Jehlan s tělesovou výškou \(3\).

9000100003

Část: 
B
Na obrázku je graf funkce \(f\colon y = x^{2} + 2\). Pro objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného osou \(x\), osou \(y\), grafem funkce \(f\) na intervalu \(\langle 0;\, 1\rangle \) a přímkou \(x = 1\) kolem osy \(y\) platí vztah:
\(V =\pi \int _{ 0}^{3}1\, \mathrm{d}y -\pi \int _{2}^{3}(\sqrt{y - 2})^{2}\, \mathrm{d}y\)
\(V =\pi \int _{ 0}^{3}(\sqrt{y - 2})^{2}\, \mathrm{d}y\)
\(V =\pi \int _{ 2}^{3}(\sqrt{y - 2})^{2}\, \mathrm{d}y -\pi \int _{0}^{3}1\, \mathrm{d}y\)
\(V =\pi \int _{ 2}^{3}(\sqrt{y - 2})^{2}\, \mathrm{d}y\)

9000072901

Část: 
C
Velikost okamžité rychlosti tělesa v metrech za sekundu je popsaná funkcí \(v(t) = 3\sqrt{t} + 2t\), kde \(t\) je čas v sekundách. Určete, jakou dráhu urazí těleso v době od \(1\). do \(9\). sekundy.
\(132\, \mathrm{m}\)
\(4\left (4 + \sqrt{2}\right )\mathrm{m}\)
\(10\, \mathrm{m}\)

9000072903

Část: 
C
Síla nezbytně nutná k prodloužení pružiny o určitou hodnotu je přímo úměrná tomuto prodloužení. Silou o velikosti \(3\, \mathrm{N}\) se pružina natáhne o \(2\, \mathrm{cm}\). Jakou práci vykoná síla při natažení pružiny o dalších \(10\, \mathrm{cm}\)?
\(1{,}05\, \mathrm{J}\)
\(0{,}75\, \mathrm{J}\)
\(0{,}18\, \mathrm{J}\)

9000072905

Část: 
C
Určete práci vykonanou při vynesení tunové družice do výšky \(150\, \mathrm{km}\) ze zemského povrchu. Hmotnost Země je \(M = 6\cdot 10^{24}\, \mathrm{kg}\), gravitační konstanta \(\kappa = 6{,}67\cdot 10^{-11}\, \mathrm{N\, m}^{2}\mathrm{kg}^{-2}\) a poloměr Země \(R = 6\: 370\, \mathrm{km}\). Zaokrouhlete na \(\mathrm{MJ}\).
\(1\: 445\, \mathrm{MJ}\)
\(1\: 471\, \mathrm{MJ}\)
\(1\: 412\, \mathrm{MJ}\)