Aplikace určitého integrálu

Určete práci vykonanou při vynesení tunové družice do výšky $150\mathrm{km}$ ze zemského povrchu. Hmotnost Země je $M=6\cdot {10}^{24}\mathrm{kg}$, gravitační konstanta $\kappa =6,67\cdot {10}^{-11}{\mathrm{N}\mathrm{m}}^2{\mathrm{kg}}^{-2}$ a poloměr Země $R=6370\mathrm{km}$. Zaokrouhlete na $\mathrm{MJ}$.

Homogenní krychle o hraně $10\mathrm{cm}$ a hustotě $2000{\mathrm{kg}\mathrm{m}}^{-3}$ je ponořena do vody tak, že její dolní stěna je rovnoběžná s volnou hladinou vody a nachází se v hloubce $10\mathrm{cm}$. Vypočítejte práci potřebnou ke zvednutí krychle do polohy, v níž bude její spodní stěna právě na volné hladině kapaliny. Hustota vody je $1000{\mathrm{kg}\mathrm{m}}^{-3}$ a tíhové zrychlení $g=10{\mathrm{m}\mathrm{s}}^{-2}$.

Velikost okamžité rychlosti tělesa je přímo úměrná druhé mocnině času. V čase $2\mathrm{s}$ je rychlost právě $6{\mathrm{m}\mathrm{s}}^{-1}$. Jakou dráhu urazí těleso za první $4\mathrm{s}$?

Vyjádřete obsah barevně vyznačené plochy omezené grafy funkcí $f$ a $g$ na intervalu $⟨a;c⟩$.