Aplicaciones de la integral definida

9000100008

Parte: 
B
En la imagen se puede ver una parte de la gráfica de la función \(f(x) = \frac{1} {x}\). Completa la siguiente frase para que sea verdadera: "La fórmula \[ V =\pi \int _{ 1}^{2}x^{-2}\, \mathrm{d}x \] determina el volumen del sólido de revolución obtenido por rotación de la región limitada por ...”
el eje \(x\), la gráfica de la función \(f\) en el intervalo \([ 1;\, 2] \) y las rectas \(x = 1\), \(x = 2\) alrededor del eje \(x\).
el eje \(y\), la gráfica de la función \(f\) en el intervalo \([ 1;\, 2] \) y las rectas \(y = 1\), \(y = \frac{1} {2}\) alrededor del eje \(x\).
el eje \(x\), la gráfica de la función \(f^{2}\) en el intervalo \([ 1;\, 2] \) y las rectas \(x = 1\), \(x = 2\) alrededor del eje \(x\).
el eje \(y\), la gráfica de la función \(f^{2}\) en el intervalo \([ 1;\, 2] \) y las rectas \(y = 1\), \(y = \frac{1} {2}\) alrededor del eje \(x\).

9000100002

Parte: 
B
En la imagen se puede ver la gráfica de la función \(f(x) = 3 - 2x\). Consideremos la región entre la gráfica de la función \(f\), el eje \(x\) y las rectas \(x = 1\) y \(x = -1\). Halla el volumen del sólido de revolución obtenido por rotación de esta región alrededor del eje \(x\).
\(\frac{62} {3} \pi \)
\(6\pi \)
\(12\pi \)
\(\frac{8} {3}\pi \)

9000100009

Parte: 
B
En la imagen se puede ver una parte de la gráfica de la función \(f(x) = \frac{1} {x}\). Consideremos la región limitada por el eje \(x\), la gráfica de \(f\) en el intervalo \([ 1;\, 4] \) y las rectas \(x = 1\), \(x = 4\). Halla el volumen del sólido de revolución obtenido por rotación de esta región alrededor del eje \(x\).
\(\frac{3} {4}\pi \)
\(\frac{5} {4}\pi \)
\(\frac{5} {3}\pi \)
\(\frac{4} {3}\pi \)

9000100001

Parte: 
B
En la imagen se puede ver la gráfica de la función \(f(x) = 3 - 2x\). Consideremos la región entre la gráfica de la función en el intervalo \([ 0;\, 1.5] \) y los ejes. Determina el sólido de revolución obtenido por rotación de esta región alrededor del eje \(y\).
Cono con el radio de la base igual a \(1.5\).
Cono con el radio de la base igual a \(3\).
Pirámide de la altura igual a \(1.5\).
Pirámide de la altura igual a \(3\).

9000100003

Parte: 
B
En la imagen se puede ver la gráfica de la función \(f(x) = x^{2} + 2\). Consideremos la región entre la gráfica de la función en el intervalo \([ 0;\, 1] \), los dos ejes y la recta \(x = 1\). Busca la fórmula del volumen del sólido de revolución obtenido por rotación de esta región alrededor del eje \(y\).
\(V =\pi \int _{ 0}^{3}1\, \mathrm{d}y -\pi \int _{2}^{3}(\sqrt{y - 2})^{2}\, \mathrm{d}y\)
\(V =\pi \int _{ 0}^{3}(\sqrt{y - 2})^{2}\, \mathrm{d}y\)
\(V =\pi \int _{ 2}^{3}(\sqrt{y - 2})^{2}\, \mathrm{d}y -\pi \int _{0}^{3}1\, \mathrm{d}y\)
\(V =\pi \int _{ 2}^{3}(\sqrt{y - 2})^{2}\, \mathrm{d}y\)

9000100007

Parte: 
B
En la imagen se puede ver la gráfica de la función \(f(x)= \sqrt{x}\). Consideremos la región limitada por la función \(f\) en el intervalo \([ 1;\, 4] \), las rectas \(x = 1\), \(x = 4\) y el eje \(x\). Halla el volumen del sólido de revolución obtenido por la rotación de esta región alrededor del eje \(x\).
\(\frac{15} {2} \pi \)
\(\frac{17} {2} \pi \)
\(\frac{17} {2} \pi ^{2}\)
\(\frac{15} {2} \pi ^{2}\)

9000100006

Parte: 
B
En la imagen se puede ver la gráfica de la función \(f(x)= \sqrt{x}\). Consideremos la región limitada por la gráfica de la función \(f\) en el intervalo \([ 1;\, 4] \), las rectas \(x = 1\), \(x = 4\) y el eje \(x\). Identifica la fórmula del volumen del sólido de revolución obtenido por rotación de esta región alrededor del eje \(x\).
\(V =\pi \int _{ 1}^{4}x\, \mathrm{d}x\)
\(V =\int _{ 1}^{4}x\, \mathrm{d}x\)
\(V =\pi \int _{ 1}^{4}\sqrt{x}\, \mathrm{d}x\)
\(V =\int _{ 1}^{4}\sqrt{x}\, \mathrm{d}x\)

9000072901

Parte: 
C
La velocidad de un cuerpo en movimiento viene dada por la función \(v(t) = 3\sqrt{t} + 2t\), donde el tiempo \(t\) se mide en segundos. Encuentra la distancia recorrida por el cuerpo en el intervalo temporal desde \(t = 1\, \mathrm{s}\) hasta \(t = 9\, \mathrm{s}\).
\(132\, \mathrm{m}\)
\(4\left (4 + \sqrt{2}\right )\mathrm{m}\)
\(10\, \mathrm{m}\)

9000072903

Parte: 
C
La fuerza necesaria para prolongar un resorte es directamente proporcional a la extensión del resorte. Para prolongar el resorte \(2\, \mathrm{cm}\) más se requiere la fuerza de \(3\, \mathrm{N}\). Evalúa el trabajo requerido para prolongar el resorte otros \(10\, \mathrm{cm}\) más.
\(1.05\, \mathrm{J}\)
\(0.75\, \mathrm{J}\)
\(0.18\, \mathrm{J}\)

9000072905

Parte: 
C
Un satélite que pesa \(1000\, \mathrm{kg}\) se transportó a una órbita situada a \(150\, \mathrm{km}\) sobre la Tierra. Calcula el trabajo mecánico requerido para este transporte. La masa de la Tierra es \(M = 6\cdot 10^{24}\, \mathrm{kg}\), la constante gravitacional \(\kappa = 6.67\cdot 10^{-11}\, \mathrm{N\, m}^{2}\mathrm{kg}^{-2}\) y el radio de la Tierra \(R = 6\: 370\, \mathrm{km}\). Aproxima el resultado a \(\mathrm{MJ}\).
\(1\: 445\, \mathrm{MJ}\)
\(1\: 471\, \mathrm{MJ}\)
\(1\: 412\, \mathrm{MJ}\)