Aplicaciones de la integral definida

En la imagen se puede ver la gráfica de la función $f(x)=\sqrt{x}$. Consideremos la región limitada por la gráfica de la función $f$ en el intervalo $[1;4]$, las rectas $x=1$, $x=4$ y el eje $x$. Identifica la fórmula del volumen del sólido de revolución obtenido por rotación de esta región alrededor del eje $x$.

En la imagen se puede ver una parte de la gráfica de la función $f(x)=\frac{1}{x}$. Completa la siguiente frase para que sea verdadera: "La fórmula $$V=\pi {\int }_1^2{x}^{-2}\mathrm{d}x$$ determina el volumen del sólido de revolución obtenido por rotación de la región limitada por ...”

Considera una sección cónica definida por $x^2-4y^2=1$. Encuentra el volumen del sólido obtenido por rotación del cono alrededor del eje $x$ en el intervalo $[1;6]$.

Considera una sección cónica definida por $y^2=x+a$. Encuentra el valor del parámetro real $a$, si el sólido obtenido por rotación del cono alrededor del eje $x$ en el intervalo $[0;5]$, tiene un volúmen de $\frac{125\pi }{2}$.