Aplicaciones de la integral definida

9000065610

Parte: 
A
Utiizando la integral definida encuentra el área del triángulo definido por las siguientes tres desigualdades \[ \begin{aligned}y& > 0, & \\y& < x + 3, \\y& < 3 - x. \\ \end{aligned} \]
\(\int _{-3}^{0}(x + 3)\, \mathrm{d}x +\int _{ 0}^{3}(3 - x)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{0}^{3}(x + 3)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{-3}^{3}(3 - x)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{-3}^{0}(3 - x)\, \mathrm{d}x +\int _{ 0}^{3}(x + 3)\, \mathrm{d}x\)

1003068201

Parte: 
B
El valor de la integral \[ \frac{4\pi}9\int\limits_0^3 x^2\mathrm{d}x \] es un número que representa:
el volumen de un cono cuya base tiene el radio de \( 2\,\mathrm{cm} \) y la altura son \( 3\,\mathrm{cm} \).
el volumen de un cono cuya base tiene un radio de \( 3\,\mathrm{cm} \) y la altura son \( 2\,\mathrm{cm} \).
el volumen de un casquete esférico que forma parte de una esfera cuyo radio es de \( \frac23\,\mathrm{cm} \) y la altura de \( 3\,\mathrm{cm} \).
el volumen de un casquete esférico que forma parte de una esfera cuyo radio es de \( 3\,\mathrm{cm} \) y la altura de \( \frac23\,\mathrm{cm} \).

1003068202

Parte: 
B
El valor de la integral \[ \pi\cdot\int\limits_0^6\left[9-(x-3)^2\right]\,\mathrm{d}x \] es un número que representa:
el volumen de una esfera cuyo radio es de \( 3\,\mathrm{cm} \).
el volumen de una esfera cuyo radio es de \( 6\,\mathrm{cm} \).
el volumen de una esfera cuyo diámetro es de \( 3\,\mathrm{cm} \).
el volumen de una semiesfera cuyo radio es de \( 3\,\mathrm{cm} \).

1003118702

Parte: 
B
Es posible calcular el volumen de una esfera de radio de \( 3 \) usando una integral definida. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es correcta?
\( \int\limits_{-3}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\int\limits_{-3}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\int\limits_{0}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\int\limits_{-3}^3\left(-\sqrt{9-x^2}\right)^2\,\mathrm{d}x \)

1003118703

Parte: 
B
Un trapecio rectángulo está limitado por \( y=ax+1 \), \( x=0 \), \( x=6 \), y por el eje \( x \). Rotando el trapecio alrededor del eje \( x \) obtenemos un cono truncado. Encuentra el valor del parámetro \( a > 0 \) para que el volumen del cono truncado sea \( 26\pi \).
\( a=\frac13 \)
\( a=\frac12 \)
\( a=3 \)
\( a=2 \)

1003118705

Parte: 
B
Pedro y Juana calcularon el volumen de un sólido de revolución mediante una integral definida. Ambos eligieron un sólido obtenido por rotación de un segmento alrededor del eje \( x \). Pedro eligió el segmento de extremos \( [0;1] \) y \( [5;4] \), y Juana eligió el de extremos \( [0;3] \) y \( [5;0] \). Finalmente compararon los volúmenes que cada uno había calculado. ¿Cuál de los enunciados es verdadero?
El sólido de Pedro es \( 20\pi \) más grande.
El sólido de Juana es \( 20\pi \) más grande.
Ambos sólidos tienen el mismo volumen.
La diferencia entre el sólido de Pedro y el de Juana es \( 10\pi \).

1003118706

Parte: 
B
Considera un cono truncado los diámetros de las bases de cual son \( 2\,\mathrm{cm} \) y \( 10\,\mathrm{cm} \), y cuya altura es \( 4\,\mathrm{cm} \). ¿Cuál de las fórmulas no debe ser usada para calcular el volumen de dicho cono truncado?
\( V=\pi\int\limits_0^4(5-x)\,\mathrm{d}x \)
\( V=\pi\int\limits_0^4(5-x)^2\mathrm{d}x \)
\( V=\frac{\pi}3\cdot4\cdot(25+5+1) \)
\( V=\frac{\pi}3\cdot25\cdot5-\frac{\pi}3\cdot1\cdot1 \)

1103068301

Parte: 
B
¿Cuál de las expresiones se puede usar para encontrar el volumen del cono en la imagen?
\( \pi\cdot\int\limits_0^4\left(-\frac14x+1\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^1\left(-4x+4\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\cdot\int\limits_0^4\left(-\frac14x+1\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\cdot\int\limits_0^1\left(-4x+4\right)^2\,\mathrm{d}x \)

1103068302

Parte: 
B
¿Cuál de las fórmulas se puede usar para encontrar el volumen del cilindro de la imagen? Los puntos \( (0; 0; 0) \) y \( (4;0;0) \) están situados en los centros de las bases del cilindro.
\( \pi\cdot\int\limits_0^43^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^34^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^43\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_{-4}^49\,\mathrm{d}x \)