Geometrie v prostoru

1103188902

Část: 
A
Rovinám znázorněným na obrázcích přiřaďte jejich obecné rovnice.
\( \alpha\colon y-2=0;\ \beta\colon z-2=0;\ \gamma\colon x-2=0 \)
\( \alpha\colon y+2=0;\ \beta\colon z+2=0;\ \gamma\colon x+2=0 \)
\( \alpha\colon x+z-2=0;\ \beta\colon x+y-2=0;\ \gamma\colon y+z-2=0 \)
\( \alpha\colon x-y+z-2=0;\ \beta\colon x+y-z-2=0;\ \gamma\colon -x+y+z-2=0 \)

1103212206

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 2 \) je umístěna v souřadném systému (viz obrázek). Přímka \( p \) je průsečnicí rovin \( \alpha \) a \( \beta \), kde \( \alpha \) je určena body \( C \), \( F \), \( H \) a \( \beta \) je určena body \( A \), \( F \), \( H \). Určete parametrické vyjádření přímky \( p \) a vypočtěte odchylku \( \varphi \) rovin \( \alpha \) a \( \beta \) . Odchylku \( \varphi \) zaokrouhlete na minuty.
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32'\\ y&=t, & &\\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2t & \varphi&\doteq 90^{\circ} \\ y&=2t & & \\ z&=2+2t;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 90^{\circ}\\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=2t & & \\ z&=2t;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)

1103212205

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 2 \) je umístěna v souřadném systému (viz obrázek). Vypočtěte vzdálenost rovnoběžných rovin \( \alpha \) a \( \beta \), kde \( \alpha \) je určena body \( B \), \( D \), \( G \) a \( \beta \) je určena body \( A \), \( F \), \( H \).
\( |\alpha\beta|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{4\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}4 \)

1103212204

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 2 \) je umístěna v souřadném systému (viz obrázek). Bod \( M \) je střed hrany \( EF \). Určete obecnou rovnici roviny \( \rho \) procházející body \( B \), \( D \) a \( G \) a vypočtěte vzdálenost bodu \( M \) od roviny \( \rho \).
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)

1103212202

Část: 
C
Přímka \( p \) je zadána body \( M=[4;3;2] \) a \( N=[0;6;7] \) (viz obrázek). Určete parametrické rovnice přímky \( p' \) která je souměrná s přímkou \( p \) v rovinové souměrnosti podle souřadné roviny \( (yz) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t,\\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212203

Část: 
C
Přímka \( p \) je zadána body \( M=[4;3;2] \) a \( N=[8;0;5] \) (viz obrázek). Určete parametrické rovnice přímky \( p' \), která je souměrná s přímkou \( p \) v rovinové souměrnosti podle souřadné roviny \( (xz) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=0, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=-3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8-4t, \\ y&=3t, \\ z&=5-3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212201

Část: 
C
Přímka \( p \) je zadána body \( M=[4;2;0] \) a \( N=[6;6;7] \) (viz obrázek). Určete parametrické rovnice přímky \( p' \), která je s přímkou \( p \) rovinově souměrná podle souřadné roviny \( (xy) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003124006

Část: 
A
Určete hodnotu parametru \( a\in\mathbb{R} \) tak, aby bod \( D=[-2;1;1] \) ležel na přímce \( p \) s parametrickým vyjádřením: \[\begin{aligned} x&=1+m,\\ y&=-2+m,\\ z&=a+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}\]
taková hodnota \(a \) neexistuje
\( a=-1 \)
\( a=0 \)
\( a = 1\)

1003124005

Část: 
A
Určete hodnotu parametru \( a\in\mathbb{R} \) tak, aby bod \( C=[2;0;6] \) ležel na přímce \( p \) s parametrickým vyjádřením: \[\begin{aligned} x&=-1+m,\\ y&=a+m,\\ z&=3+m;\ m\in\mathbb{R}\end{aligned}\]
\( a=-3 \)
\( a=0 \)
\( a=-1 \)
taková hodnota \(a \) neexistuje