Geometrie v prostoru

1003233607

Část: 
C
Určete vzájemnou polohu tří rovin: \begin{align*} \alpha\colon\ &2x+y+9z-18=0, \\ \beta\colon\ &x+3y+2z+16=0, \\ \gamma\colon\ &x+2y+3z+6=0. \end{align*}
Roviny $\alpha$, $\beta$ a $\gamma$ se protínají v přímce.
Každá dvojice rovin se protíná v přímce. Tyto tři průsečnice jsou navzájem různé rovnoběžky.
Všechny tři roviny se protínají v právě jednom bodě.

1003233605

Část: 
C
Jsou dány přímky $p$ a $q$. \begin{align*} p\colon x&= 1-t, & q\colon x&= 1-2s, \\ y&= 1+t, & y&=s, \\ z&= 3+2t;\ t\in\mathbb{R}, & z&= 3+3s;\ s\in\mathbb{R}. \end{align*} Určete parametrické rovnice přímky $r$, která obě přímky $p$ a $q$ protíná a leží přitom v rovině $x+2y-z+2=0$.
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+2m, \\ y&=3-3m, \\ z&=7-4m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3+3m, \\ z&=7-m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+3m, \\ y&=3+2m, \\ z&=7+5m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3-m, \\ z&=7+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1103233604

Část: 
C
Určete obraz bodu $A=[1;10;-8]$ v osové souměrnosti podle přímky $p$: \begin{align*} p\colon x&= 1-2t, \\ y&= 3+t, \\ z&= -1+3t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Nápověda: viz obrázek
$A'=[5;-6;0]$
$A'=[3;2;-4]$
$A'=[-1;11;-5]$
$A'=[-2;10;-24]$

1103233603

Část: 
C
V krychli $ABCDEFGH$ s hranou délky $1$, která je umístěna v souřadném systému, je vyznačen pravidelný čtyřstěn $ACHF$ (viz obrázek). Vypočtěte odchylku jeho stěn a zaokrouhlete ji na minuty.
$70^{\circ}32'$
$54^{\circ}44'$
$45^{\circ}$
$51^{\circ}4'$

1103233602

Část: 
C
V krychli $ABCDEFGH$ s hranou délky $1$, která je umístěna v souřadném systému, je vyznačen pravidelný čtyřstěn $ACHF$ (viz obrázek). Vypočtěte vzdálenost jeho protilehlých hran. \[ \] Nápověda: Protilehlé hrany čtyřstěnu leží na mimoběžných přímkách. Jejich vzdálenost je rovna vzdálenosti středu jedné hrany od hrany k ní protilehlé.
$1$
$\sqrt3$
$\frac{\sqrt3}2$
$\frac{\sqrt5}2$

1103233601

Část: 
C
V krychli $ABCDEFGH$ s hranou délky $1$, která je umístěna v souřadném systému, je vyznačen pravidelný čtyřstěn $ACHF$ (viz obrázek). Určete velikost jeho tělesové výšky. \[ \] Nápověda: Vypočtěte např. vzdálenost bodu $F$ od roviny $ACH$.
$\frac{2\sqrt3}3$
$\frac{\sqrt3}3$
$\frac{2\sqrt6}3$
$\frac23$

1003189005

Část: 
B
Přímka \( p \) je dána parametrickými rovnicemi: \begin{align*} x&=1+t, \\ y&= 1+2t, \\ z&= 4-t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Určete parametrické rovnice přímky \( p' \), která je kolmým průmětem přímky \( p \) do souřadné roviny \((xy)\) .
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+s, \\ y&= 9+2s, \\ z&= 0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+s, \\ y&= 9-2s, \\ z&=0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=1+s, \\ y&=1+2s, \\ z&= 4;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+2s, \\ y&=9+s, \\ z&= 0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$