Geometrie v prostoru

1103189001

Část: 
B
Určete obecnou rovnici roviny \( \alpha \), která je kolmá k přímce \( p \): \begin{align*} x&=7+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a prochází bodem \( A=[1;0;4] \). Dále vypočtěte souřadnice bodu \( B \), ve kterém přímka \( p \) protíná rovinu \( \alpha \) (viz obrázek).
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3=0;\ B=[8;2;3] \)
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[8;2;3] \)

1103189002

Část: 
B
Určete obecnou rovnici roviny \( \beta \), která prochází body \( M=[-1;1;-3] \) a \( N=[0;2;-1] \) a je kolmá k rovině \( \alpha \): \( 3x-y+2=0 \) (viz obrázek).
\( \beta\colon x+3y-2z-8=0 \)
\( \beta\colon x+3z+10=0 \)
\( \beta\colon x+3z+3=0 \)
\( \beta\colon x+3y-2z+8=0 \)

1103189003

Část: 
B
Určete obecnou rovnici roviny \( \beta \), která prochází přímkou \( p \) danou parametrickými rovnicemi \begin{align*} x&=1+2t, \\ y&=-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a je kolmá k rovině \( \alpha \): \( x+3y-z-7=0 \) (viz obrázek).
\( \beta\colon x-3y-8z+7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z-3=0 \)
\( \beta\colon x-3y-8z-7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z+3=0 \)

1103189004

Část: 
B
Je dán bod \( A=[2;-1;-4] \) a roviny \( \rho \): \( x-y+3z-5=0 \) a \( \sigma \): \( 2x-y-z-8=0 \). Určete obecnou rovnici roviny \( \alpha \), která prochází bodem \( A \) a je kolmá k oběma daným rovinám (viz obrázek).
\( \alpha\colon 4x+7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon -2x+5y-3z-3=0 \)
\( \alpha\colon 4x-7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon 2x-5y+3z+3=0 \)

2010005004

Část: 
B
Určete vzdálenost dvou rovnoběžných rovin \(\rho \) a \(\sigma \). \[ \begin{aligned} \rho& \colon 2x - 0{,}5y - 4z - 4 = 0,\\ \sigma &\colon 4x - y - 8z -2 = 0 \end{aligned}\]
\(\frac{2} {3}\)
\(\frac{11} {9}\)
\(\frac{10} {9}\)
\(\frac{4} {3}\)

2010005005

Část: 
B
Jsou dány body \(C = [-2;3;-1]\), \(D= [1;2;-3]\). Určete odchylku přímek \(CD\) a \(p\). \[ \begin{aligned}p\colon x& = 2 -s, & \\y & = 3, \\z & = 2s;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \] Výsledek zaokrouhlete na minuty.
\(33^{\circ }13'\)
\(56^{\circ }47'\)
\(90^{\circ }\)
\(146^{\circ }47'\)

2010008701

Část: 
B
Jsou dány body \(K = [ 1; −2; 1]\), \(L = [2; 0; −3]\) a rovina \(\rho\): \(x-2z+3=0\). Určete obecnou rovnici roviny \(\sigma\), ve které leží přímka \(KL\) a která je kolmá k rovině \(\rho\) (viz obrázek).
\( \sigma\colon 2x+y+z-1=0 \)
\( \sigma\colon 2x+3y+2z+2=0 \)
\( \sigma\colon 2y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-4=0 \)

2010008702

Část: 
B
Je dán bod \( P=[3;-4;-5] \) a roviny \( \alpha \): \( 2x-y-3z-5=0 \) a \( \beta \): \( 3x-2y-4z+3=0 \). Určete obecnou rovnici roviny \( \sigma \), která prochází bodem \( P \) a je kolmá k oběma rovinám \(\alpha\) i \(\beta\) (viz obrázek).
\( \sigma\colon 2x+y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y-z+15=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y+z-5=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-z-7=0 \)