Geometrie v prostoru

9000111807

Část: 
B
Pro kterou z následujících přímek platí, že její odchylka od roviny dané obecnou rovnicí \[ 2x - y + 3z - 5 = 0 \] je rovna \(30^{\circ }\)?
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = 2 + t, & \\y & = 1 + 3t, \\z & = -2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] r\colon x& = -2t, & \\y & = -3 + t, \\z & = 1 - 3t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 2 + 3t, & \\y & = 3 - 2t, \\z & = 3 + t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000111808

Část: 
B
Pro kterou z následujících rovin platí, že její odchylka od roviny \[ \rho \colon \begin{aligned}[t] x& = 1 + r - 2s, & \\y& = 3 - r + 2s, \\z& = -5 - 4r;\ r,\; s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \] je rovna \(45^{\circ }\)?
\(\gamma \colon 3x - 2 = 0\)
\(\beta \colon 2z - 2 = 0\)
\(\alpha \colon x + y - 2 = 0\)

9000117401

Část: 
B
Jsou dány roviny \[\begin{aligned} \rho \colon 2x - 5y + 4z - 10 = 0,\quad \sigma \colon x - y - z - 2 = 0. & & \end{aligned}\] Která z uvedených přímek je průsečnicí zadaných rovin?
\(p = \{[3t;-2 + 2t;t],\ t\in \mathbb{R}\}\)
\(q = \{[2s - 10;5s - 10;s],\ s\in \mathbb{R}\}\)
\(a = \{[2u - 4;2u - 4;u],\ u\in \mathbb{R}\}\)
\(b = \{[3v + 1;v - 2;v],\ v\in \mathbb{R}\}\)

9000117407

Část: 
B
Jaká musí být hodnota reálného parametru \(p\), aby roviny \[\begin{aligned} \rho \colon 2x - 4y + 5z - 4 = 0,\quad \sigma \colon - 3x + py - 2z + 4 = 0 & & \end{aligned}\] byly navzájem kolmé?
\(p = -4\)
\(p = 4\)
\(p = 0\)
\(p = -3\)

9000117408

Část: 
B
Je dána rovina \[\begin{aligned} \rho \colon 2x - 3y + 7z - 2 = 0. & & \end{aligned}\] Která z uvedených rovin je kolmá k rovině \(\rho \)?
\(\omega \colon x + 3y + z + 7 = 0\)
\(\tau \colon - 2x + 3y - 7z + 2 = 0\)
\(\nu \colon - 2x - 3y + 7z + 2 = 0\)
\(\sigma \colon 7x - 3y + 2z - 2 = 0\)

9000117409

Část: 
B
Je dána rovina \[\begin{aligned} \rho \colon x - 2y + 5z - 3 = 0 & & \end{aligned}\] a bod \(M = [3;-1;1]\). Vyberte, která z uvedených rovin prochází bodem \(M\) a je rovnoběžná s rovinou \(\rho \).
\(\tau \colon x - 2y + 5z - 10 = 0\)
\(\sigma \colon 3x - y + z - 3 = 0\)
\(\nu \colon x - 2y + 5z + 1 = 0\)
\(\omega \colon 3x - y + z - 11 = 0\)

9000117410

Část: 
B
Jaká musí být hodnota reálných parametrů \(p,\ q\), aby roviny \[\begin{aligned} \rho \colon 2x - 3y + 5z + 6 = 0,\quad \sigma \colon 4x + py + qz - 2 = 0 & & \end{aligned}\] byly rovnoběžné různé?
\(- 6;10\)
\(6;10\)
\(6;-10\)
\(- 6;-10\)

1003233605

Část: 
C
Jsou dány přímky $p$ a $q$. \begin{align*} p\colon x&= 1-t, & q\colon x&= 1-2s, \\ y&= 1+t, & y&=s, \\ z&= 3+2t;\ t\in\mathbb{R}, & z&= 3+3s;\ s\in\mathbb{R}. \end{align*} Určete parametrické rovnice přímky $r$, která obě přímky $p$ a $q$ protíná a leží přitom v rovině $x+2y-z+2=0$.
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+2m, \\ y&=3-3m, \\ z&=7-4m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3+3m, \\ z&=7-m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+3m, \\ y&=3+2m, \\ z&=7+5m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3-m, \\ z&=7+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003233607

Část: 
C
Určete vzájemnou polohu tří rovin: \begin{align*} \alpha\colon\ &2x+y+9z-18=0, \\ \beta\colon\ &x+3y+2z+16=0, \\ \gamma\colon\ &x+2y+3z+6=0. \end{align*}
Roviny $\alpha$, $\beta$ a $\gamma$ se protínají v přímce.
Každá dvojice rovin se protíná v přímce. Tyto tři průsečnice jsou navzájem různé rovnoběžky.
Všechny tři roviny se protínají v právě jednom bodě.